結晶格子：粒子数・充填率・密度を単位格子から導く

🔍 体対角線を半径で表す

1. 立方体の対角線
   $$d_{\text{面}}=\sqrt2a,\qquad d_{\text{体}}=\sqrt{a^2+(\sqrt2a)^2}=\sqrt3a$$

   体対角線はある頂点から、空間を横切って反対側の頂点へ結ぶ線。

2. 接触している並び
   $$d_{\text{体}}=r+2r+r=4r$$

   頂点の原子中心→体心の原子中心→反対側の頂点の原子中心という並び。中心間距離2rが2区間ある。

3. 半径と一辺
   $$\sqrt3a=4r\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{\sqrt3}{4}a,\qquad a=\frac{4r}{\sqrt3}$$

   辺に沿った頂点間距離aは2rより大きい。辺上では原子は接していない。

🔍 1つの面だけを見ればよい

1. 面の中の並び
   $$d_{\text{面}}=\sqrt2a=4r$$

   頂点→面心→対角の頂点と結ぶ。ここでも中心間距離2rが2区間ある。体心に原子はない。

2. 半径と一辺
   $$r=\frac{\sqrt2}{4}a,\qquad a=2\sqrt2r$$

   原子数が多いことだけから半径は決まらない。どの方向で球が接しているかを特定する。

🔍 充填率を半径が消える形にする

1. BCCを代入
   $$\eta_{\mathrm{BCC}}=\frac{2(4\pi r^3/3)}{(4r/\sqrt3)^3}=\frac{\sqrt3\pi}{8}\simeq0.680$$

   約68.0％。球の半径を同じ倍率で変えると箱の一辺も同じ倍率で変わるので、割合は一定。

2. FCCを代入
   $$\eta_{\mathrm{FCC}}=\frac{4(4\pi r^3/3)}{(2\sqrt2r)^3}=\frac{\pi}{3\sqrt2}\simeq0.740$$

   約74.0％。同じ大きさの球の最密充填の1つ。六方最密構造も同じ充填率だが、積み重ね方が異なる。

🔍 密度の式を作る

1. 原子1個の質量
   $$m_{\text{原子}}=\frac{M}{N_A}$$

   Mは元素のモル質量、N_Aはアボガドロ定数。Mをg/mol、N_Aをmol⁻¹で表せば質量はgになる。

2. 単位格子の質量と密度
   $$m_{\text{格子}}=\frac{NM}{N_A},\qquad \rho=\frac{m_{\text{格子}}}{a^3}=\frac{NM}{N_Aa^3}$$

   密度ρをg/cm³で求めるならaはcmに直す。kg/m³で求めるならMをkg/mol、aをmにそろえる。

3. ナノメートルの換算
   $$1\,\mathrm{nm}=10^{-7}\,\mathrm{cm},\qquad 1\,\mathrm{nm^3}=10^{-21}\,\mathrm{cm^3}$$

   長さの換算係数を3乗する。体積を10⁻⁷倍とするのは誤り。