角運動量と保存則——中心力・慣性モーメント・回転運動

「回転の勢い」は何について保存するのか。固定点まわりの角運動量から面積速度、質量分布を測る慣性モーメントへ進み、外力のモーメントと仕事を区別して回転の変化を解く。

この単元の目標

基準点と向きを指定し、外積から質点の角運動量と力のモーメントを計算できる。
外力の合モーメントが0という保存条件を、力が0という条件と区別できる。
中心力から面積速度一定を導き、接線速度と速さの違いを説明できる。
慣性モーメントを質量分布から求め、固定軸の回転と形状変化の前後に使える。
角運動量保存と回転の運動エネルギー保存が別の主張であることを説明できる。

📑 目次

1．直進している物体にも「点のまわりの勢い」がある
2．保存する条件は「力がない」ではなく「回す効果がない」
3．複数の物体では「どこまでを系に含めるか」を決める
4．中心力なら、面積を掃く速さが一定になる
5．慣性モーメントは「質量を軸からの距離の二乗で重み付け」する
6．腕を縮めて速く回るとき、エネルギーはどこから来るか
7．問題を解く前の四つの確認
根拠と学習範囲

1．直進している物体にも「点のまわりの勢い」がある

ドアは蝶番から遠い場所を押すほど回しやすくなります。回転への効果は力の大きさだけでなく、どこを基準に、どの向きに力が働くかで決まるからです。同じように、運動量にも「ある点のまわりにどれだけ回転を伴うか」を表す量が必要です。それが角運動量です。物体が円軌道を描いている場合だけの量ではありません。

本記事は一定質量の質点およびその集まりを扱うニュートン力学です。基準点Oと座標軸は慣性系に固定します。位置rはOから物体へ向かうベクトル、速度vはその慣性系での速度です。量子のスピン、相対論、加速する原点や回転座標系での補正は扱いません。例題の値は理論を確かめるための架空の条件です。

\boldsymbol p=m\boldsymbol v,\qquad \boldsymbol L_O=\boldsymbol r\times\boldsymbol p,\qquad |\boldsymbol L_O|=rmv\sin\theta

θは位置rと速度vのなす角（0からπ）です。外積は両ベクトルに垂直で、右手の指をrからpへ曲げたときの親指の向きになります。xy平面なら反時計回りを＋z方向とするのが便利です。位置に平行な運動量は回転に寄与せず、位置に垂直な成分だけが効きます。角運動量の単位はkg·m²/s（J·s）で、運動量のkg·m/sとは異なります。

例題1：直進していても角運動量は0とは限らない

質量2.0 kgの質点がxy平面を運動している。ある瞬間の位置はr = (3.0, 0, 0) m、速度はv = (4.0, 2.0, 0) m/s。この瞬間のOまわりの角運動量を求めよ。その後、力を受けず直進するとどうなるか。

解答・解説

p = (8.0, 4.0, 0) kg·m/sなので、Lz = xpy − ypx = 3.0×4.0 − 0 = **12 kg·m²/s**。Lx = Ly = 0です。時刻tを秒の数値として位置は(3 + 4t, 2t, 0) m、したがってLz = (3 + 4t)×4 − 2t×8 = 12で一定です。速度のx成分も後には寄与しますが、二つの項の変化が相殺します。

L = mrvと書けるのはrとvが垂直なときの大きさだけです。また、角運動量は基準点に依存します。例題1でも物体の進む直線上に基準点を置けば角運動量は0です。「角運動量が12」とだけ書かず、Oまわり・＋z向き・単位まで確認しましょう。

2．保存する条件は「力がない」ではなく「回す効果がない」

蝶番を通る向きにドアを押しても、その蝶番まわりには回せません。力が存在しても、その作用線と基準点の位置関係によって回転への効果が0になるのです。この効果を力のモーメント（トルク）τと呼びます。角運動量の変化との関係は、定義を時間微分するだけで導けます。

🔍 運動量の変化から角運動量の変化へ

積の微分
$\frac{d\boldsymbol L_O}{dt}=\dot{\boldsymbol r}\times m\boldsymbol v+\boldsymbol r\times m\dot{\boldsymbol v}$
Oが固定されているので、位置の時間微分がvになる。
同じ向きの外積は0
$\boldsymbol v\times m\boldsymbol v=\boldsymbol 0,\qquad m\dot{\boldsymbol v}=\boldsymbol F$
ニュートンの運動方程式を使う。Fは質点に働く合力。
回転に対する運動方程式
$\frac{d\boldsymbol L_O}{dt}=\boldsymbol\tau_O,\qquad \boldsymbol\tau_O=\boldsymbol r\times\boldsymbol F$
トルクの単位はN·m。エネルギーと同じ次元だが、トルクは向きを持つ別の量なので通常Jとは表記しない。

\Delta\boldsymbol L_O=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol\tau_O\,dt,\qquad \boldsymbol\tau_O=\boldsymbol 0\ \text{が全区間で成立}\ \Rightarrow\ \boldsymbol L_O=\text{一定}

トルクを時間で積分したものは角力積で、単位はN·m·sです。ある瞬間だけトルクが0でも、それ以前や以後の保存は保証できません。また積分の結果が0なら前後の角運動量は同じですが、途中も一定とは限りません。z成分のトルクだけが常に0なら、保証されるのはLzの保存であり、ベクトル全体の保存ではありません。

3．複数の物体では「どこまでを系に含めるか」を決める

二つの歯車の一方だけを見ると、他方からトルクを受けます。しかし両方をまとめた系では、その接触力は内力です。質点間の内力が作用反作用を満たし、各対を結ぶ直線に沿って働くとき、内力のトルクは対ごとに打ち消されます。全角運動量の変化には外力のトルクだけが残ります。

\boldsymbol L_O^{\rm total}=\sum_i\boldsymbol r_i\times m_i\boldsymbol v_i,\qquad \frac{d\boldsymbol L_O^{\rm total}}{dt}=\sum_i\boldsymbol r_i\times\boldsymbol F_i^{\rm ext}

作用反作用が等大逆向きというだけでは、離れた点に働く内力トルクの相殺までは保証できません。ここでは「各対を結ぶ直線に沿う内力」という通常の質点系の条件も置いています。電磁場の角運動量などが必要な系は範囲外です。また外力の合力が0でも、作用線の異なる等大逆向きの力（偶力）は回転を変えられます。合力0と合モーメント0を混同しません。

4．中心力なら、面積を掃く速さが一定になる

中心へ引く力は速度を変えても、中心Oを回すトルクを持ちません。力が常に固定点Oへの方向、またはそこから離れる方向なら、位置と力の外積が0だからです。以下では中心力をF = f(r) eᵣとし、eᵣは外向き単位ベクトル、fが負なら引力とします。逆二乗の引力に限らず、この向きの条件から角運動量が保存します。

\boldsymbol F=f(r)\boldsymbol e_r\quad\Rightarrow\quad \boldsymbol r\times\boldsymbol F=\boldsymbol 0\quad\Rightarrow\quad \boldsymbol L_O=\text{一定}

Lが0でなければ、rとvは常に一定のLに垂直です。したがって軌道はOを通る一つの平面内にあります。L = 0なら運動は中心を通る直線上の放射状運動で、Lだけから平面の向きは選べません（中心の特異点を通る運動の継続は別途検討が必要です）。平面内では、速度を半径方向のvᵣと接線方向のvθに分けると意味がはっきりします。

🔍 小さな三角形の面積から面積速度を出す

角運動量に寄与するのは接線成分
$v_r=\dot r,\qquad v_\theta=r\dot\theta,\qquad L_z=mr v_\theta=mr^2\dot\theta$
z軸を軌道面に垂直に取り、θの増加方向を正とする。vθとLzは符号付き。
短時間の扇形は三角形と同じ極限
$\frac{dA}{dt}=\frac12r^2\dot\theta=\frac{L_z}{2m}$
Aは符号付きの掃過面積。通常の面積速度の大きさは|Lz|/(2m)、単位はm²/s。

中心力だからといって円軌道、一定速度、楕円軌道が保証されるわけではありません。保存する積はr vθで、一般にはr vではありません。半径方向に動いていると速さは√(vᵣ² + vθ²)です。また面積速度一定は中心力の向きから導けますが、楕円などの軌道の形を決めるには力の距離依存性と初期条件が必要です。

例題2：中心力の下で、半径方向の速度を見落とさない

固定中心Oからの中心力だけを受ける質量0.50 kgの質点を考える。点AではrA = 2.0 m、vθA = 3.0 m/s。後にrB = 1.0 mの点Bを通り、そこでの半径方向速度はvᵣB = −2.0 m/sとわかっている。Lz、面積速度、点Bの接線速度と速さを求めよ。

解答・解説

Lz = 0.50×2.0×3.0 = **3.0 kg·m²/s**、面積速度は3.0/(2×0.50) = **3.0 m²/s**。保存よりvθB = Lz/(m rB) = **6.0 m/s**。速さは√[(−2.0)² + 6.0²] = √40 ≈ **6.32 m/s**です。rが半分になって倍になるのは接線速度であって、一般の速さではありません。Bを通ることとvᵣBは与えられた条件であり、角運動量保存だけから到達可能性まで判定したわけではありません。

5．慣性モーメントは「質量を軸からの距離の二乗で重み付け」する

同じ質量の輪と円板でも、軸から遠くに質量が集まった輪のほうが回転を変えにくくなります。遠くの部分は同じ角速度でも速く動き、さらに角運動量には腕の長さも掛かるため、軸からの距離が二度効くからです。剛体が固定z軸のまわりに共通の角速度ωで回る場合を考え、軸までの垂直距離をρと書きます。

🔍 小部分の角運動量を足し合わせる

各質点のz成分
$v_i=\rho_i|\omega|,\qquad L_{z,i}=m_i\rho_i^2\omega$
ωは符号付き。ρは原点までの距離ではなく、回転軸までの垂直距離。
慣性モーメントを定義
$I_z=\sum_i m_i\rho_i^2=\int\rho^2\,dm,\qquad L_z=I_z\omega$
Iの単位はkg·m²。軸を変えれば、同じ物体でもIは変わる。
固定軸の回転エネルギーと運動方程式
$K_{\rm rot}=\frac12 I_z\omega^2,\qquad \tau_z^{\rm ext}=\frac{d(I_z\omega)}{dt}$
剛体でIが一定ならτz = Iz α、α = dω/dt（rad/s²）。形状が変わる場合にIを微分の外へ出してはいけない。

薄い一様円板（質量M、半径R）の中心を通り板に垂直な軸では、面密度をσ = M/(πR²)とすると、半径ρ・幅dρの薄い輪の質量はdm = 2πσρ dρです。面積の広い外側の輪ほど質量も多いことを積分に入れます。

I_z=\int_0^R\rho^2(2\pi\sigma\rho\,d\rho)=\frac{\pi\sigma R^4}{2}=\frac12MR^2

一方、質量を半径Rの細い輪にすべて集めた理想的な円環ならI = MR²です。さらに重心を通る軸と平行な別の軸が距離dだけ離れているとき、I = I重心 + Md²（平行軸の定理）。距離の二乗を展開した交差項は、重心から測った位置の質量加重和が0なので消えます。二つの軸が平行であること、一方が重心を通ることが必要です。

ここでのLz = Iz ωは軸方向の成分の式です。一般の三次元剛体では角運動量ベクトルと角速度ベクトルは平行とは限らず、慣性テンソルが必要です。主軸まわりの回転などの条件なしに、ベクトル全体を一つのスカラーIで結び付けないでください。またKrotの式は固定軸の純粋な回転に対するものです。並進や形状変化の運動エネルギーまで自動的に含むわけではありません。

例題3：円板を回す一定トルク

質量4.0 kg、半径0.50 mの薄い一様円板を、中心に垂直な固定軸のまわりに静止状態から回す。軸まわりの正味の外力トルクは＋0.75 N·mで一定。2.0 s後の角速度、角運動量、回転エネルギーを求めよ。摩擦は無視する。

解答・解説

I = (1/2)×4.0×0.50² = **0.50 kg·m²**。α = τ/I = **1.5 rad/s²**、ω = αt = **3.0 rad/s**。Lz = Iω = **1.5 kg·m²/s**は角力積τt = 0.75×2.0とも一致します。Krot = (1/2)×0.50×3.0² = **2.25 J**。回転角はαt²/2 = 3.0 radなので、仕事τΔθ = 0.75×3.0 = 2.25 Jとも一致します。

6．腕を縮めて速く回るとき、エネルギーはどこから来るか

回転中に腕を縮めるスケーターを思い浮かべましょう。軸から遠い部分を内側へ移すとIが小さくなります。人全体を系に取り、鉛直軸まわりの外力トルクを無視できるなら、Lzが保たれるため角速度が大きくなります。ただし角運動量保存は「内部で仕事をしない」という意味ではありません。腕を引き込む筋肉の働きが回転エネルギーを増やせます。以下は初めと終わりで各部分が共通の角速度を持ち、半径方向の運動が止まっている模型です。

I_1\omega_1=I_2\omega_2=L_z,\qquad K_{\rm rot}=\frac{L_z^2}{2I},\qquad \frac{K_2}{K_1}=\frac{I_1}{I_2}\quad(L_z\ne0)

例題4：角運動量は保存しても回転エネルギーは増える

鉛直固定軸まわりの外力トルクを無視できる系で、初めのI₁ = 3.0 kg·m²、ω₁ = 2.0 rad/s。内部の働きで形状を変え、最後にI₂ = 1.5 kg·m²となった。初めと終わりの運動は共通の角速度による純粋な回転とする。最後の角速度と回転エネルギーの増加を求めよ。

解答・解説

Lz = 3.0×2.0 = **6.0 kg·m²/s**。ω₂ = 6.0/1.5 = **4.0 rad/s**。K₁ = (1/2)×3.0×2.0² = **6.0 J**、K₂ = (1/2)×1.5×4.0² = **12 J**で、**6.0 J増加**します。他の力学的エネルギーの変化や散逸がない理想化では、これは内部のエネルギーから供給された仕事です。現実の人体の消費エネルギーが6.0 Jで済むと主張しているのではありません。

外力トルク0でも、中心方向の力が動径方向の変位に対して仕事をすることはあります。トルクはr×F、仕事率はF·vで、外積と内積は違う問いに答えます。時間によらない中心力F = f(r)eᵣにはポテンシャルを定義できますが、その場合でも保存するのは運動エネルギー単独ではなく運動エネルギーと位置エネルギーの和です。時間に依存する強さの中心方向の力でも角運動量は保存する一方、力学的エネルギー保存は一般には成立しません。

7．問題を解く前の四つの確認

基準点・軸・正の向きを決める。ここで使う式なら原点と軸は慣性系に固定する。
対象の系を囲み、外力のトルクを足す。0か、角力積を計算する必要があるかを判断する。
質点ならr×mv、固定軸の共通回転ならLz = Iωを選ぶ。半径と軸までの垂直距離を混同しない。
エネルギーを使うなら別途、仕事・位置エネルギー・内部エネルギー・散逸を点検する。単位と別経路の計算で検算する。

練習問題：式より先に保存条件を確認する

質点の位置r = (0, 2.0, 0) m、運動量p = (3.0, 0, 0) kg·m/s。Oまわりの角運動量を求めよ。
解答・解説
Lz = xpy − ypx = 0 − 2.0×3.0 = **−6.0 kg·m²/s**、他の成分は0。右手の規則でも−z方向です。大きさ6.0だけでなく符号が回転の向きを表します。
固定中心から中心力だけを受ける質点で、ある点のr = 3.0 m、vθ = 2.0 m/sだった。r = 2.0 mの点を通るときのvθと角速度を求めよ。
解答・解説
r vθが保存するのでvθ = 3.0×2.0/2.0 = **3.0 m/s**。角速度はvθ/r = **1.5 rad/s**です。初めの角速度2/3 rad/sの2.25倍で、距離に反比例する接線速度と距離の二乗に反比例する角速度を区別します。
質量2.0 kg、半径0.30 mの薄い一様円板について、中心に垂直な軸のIと、それに平行で円板の縁を通る軸のIを求めよ。
解答・解説
中心軸ではI重心 = MR²/2 = **0.090 kg·m²**。縁の軸は距離d = Rだけ離れているのでI = 0.090 + 2.0×0.30² = **0.270 kg·m²**。軸が変わっても質量は同じですが、質量分布の距離の二乗が変わります。
固定軸まわりのI = 0.40 kg·m²、初めのω = ＋5.0 rad/s。正味の外力トルク−0.20 N·mが3.0 s続いた。Iは一定として最後のωを求めよ。
解答・解説
角力積は−0.60 N·m·s。初めのLz = 2.0 kg·m²/sから最後は1.4 kg·m²/sとなり、ω = 1.4/0.40 = **＋3.5 rad/s**。トルクが負でも、角速度がただちに負になるわけではありません。
外力トルクを無視できる同一固定軸の系で、形状変化によりIが初めの3倍になった。前後とも共通角速度の純粋な回転で、初めの角運動量は0でない。角速度と回転エネルギーは何倍か。
解答・解説
Lz = Iω一定より角速度は**1/3倍**。Krot = Lz²/(2I)より回転エネルギーも**1/3倍**です。ω²の1/9倍だけを見るとIの3倍を落とします。減った回転エネルギーの行き先は、内部の仕事や散逸など、形状変化の仕組みを調べて判断します。

確認クイズ：何が0なら何が保存するか

問1. 通常の内力トルクが相殺される質点系で、固定点Oまわりの全角運動量ベクトルが全区間で一定となる条件はどれか。

問2. 固定中心からの中心力だけを受ける質点について、必ず正しいのはどれか。

問3. 同じ質量M・半径Rの薄い一様円板と細い円環を、それぞれ中心に垂直な軸で比べる。円環の慣性モーメントは円板の何倍か。

問4. 外力トルク0でIが小さくなり、回転エネルギーが増えた。最も適切な説明はどれか。

根拠と学習範囲

本文の根拠は、一定質量に対するニュートンの運動方程式、外積の積の微分、質点系での内力トルクの相殺、円板の質量積分です。既習の円運動の向心力や惑星の周期計算を繰り返すのでなく、保存条件・接線成分・軸の指定を明示して、中心力と固定軸回転をつなぎました。数値はこれらの式から作った例であり、実測値や特定装置・人体の性能データではありません。

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