二次曲線の詳細

🔍 放物線 y^2 = 4px の導出

1. 条件を式に書く
   $$|PF| = d(P, \ell)$$

   焦点 F(p, 0)、準線 x = -p を設定する

2. 距離を座標で表す
   $$\sqrt{(x - p)^2 + y^2} = |x + p|$$
3. 2乗して整理
   $$(x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2 \implies y^2 = 4px$$

   x^2 が消えるので放物線は二次曲線の中で特別な形になる

🔍 楕円の方程式の導出

1. 距離の和が一定という条件
   $$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$$

   焦点 F(-c, 0), F(c, 0) までの距離の和を 2a とする

2. 一方を移項して2乗
   $$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 + y^2$$
3. 根号を残して整理し、もう一度2乗
   $$a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx \implies a^2((x-c)^2+y^2)=(a^2-cx)^2$$

   右辺には x が残る。ここを定数に置き換えると正しい楕円の式にならない。

4. 展開して共通項を消す
   $$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$
5. b^2 = a^2 - c^2 でおく
   $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$

   非退化な楕円には距離の和 2a が焦点間距離 2c より大きいことが必要。a > c より b > 0 と置ける。標準形では |x| ≤ a なので a² − cx > 0 となり、2乗前の条件も満たす。

🔍 楕円の離心率と準線を求める

1. 右の焦点までの距離を取り出す
   $$PF=\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a-\frac{c}{a}x$$

   楕円の導出で得た式を a で割る。

2. 準線までの距離として書く
   $$PF=\frac{c}{a}\left(\frac{a^2}{c}-x\right)=e\,d(P,\ell),\quad e=\frac{c}{a},\quad\ell: x=\frac{a^2}{c}$$

   a²/c > a ≥ x なので括弧内は正。左の焦点には準線 x = −a²/c が対応する。

🔍 楕円上の点 (x_0, y_0) における接線

1. 陰関数を微分する
   $$\dfrac{2x}{a^2} + \dfrac{2y}{b^2} y^{\prime} = 0 \implies y^{\prime} = -\dfrac{b^2 x}{a^2 y}$$

   ここでは y₀ ≠ 0 として、y を x の関数として微分する。

2. 点 (x_0, y_0) の傾きを入れる
   $$y - y_0 = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}(x - x_0)$$
3. 曲線の方程式で整理
   $$\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$$

   双曲線なら右辺が 1 のまま符号だけ変わり $\tfrac{x_0 x}{a^2} - \tfrac{y_0 y}{b^2} = 1$、放物線 $y^2 = 4px$ では $y_0 y = 2p(x + x_0)$