確率

確率の基本的性質から独立試行・条件付き確率へ。

📑 目次

確率の計算
条件付き確率と独立
練習問題
小ネタ: モンテカルロ法で円周率を推定
結果の名前ではなく、等確率の最小単位を数える
樹形図は「その枝に来た後の確率」を掛ける

確率の計算

個数の比で確率を求めるには、全事象 U の各根元事象が同様に確からしいことが必要です。この節のサイコロは各目が等確率で、複数回の試行は独立、袋からの取り出しは各玉が等確率とします。

P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}, \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

条件付き確率と独立

条件付き確率 $P(B|A)$ は $P(A)>0$ のときに定義します。独立と排反は異なり、確率がともに正の事象が排反なら独立ではありません。

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \qquad A, B \text{ 独立} \iff P(A \cap B) = P(A)P(B)

反復試行（独立な試行の繰り返し）で成功 r 回の確率は二項分布： $_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$ 。

例題

表が出る確率 1/3 のコインを3回投げるとき、表がちょうど2回出る確率を求めよ。

解答・解説

${}_3\mathrm{C}_2 (\tfrac{1}{3})^2 (\tfrac{2}{3}) = 3 \times \tfrac{1}{9} \times \tfrac{2}{3} =$ **2/9**

練習問題

サイコロを2個投げるとき、目の和が 7 になる確率を求めよ。
ヒント
和が 7 になる組は (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)。
解答・解説
$\dfrac{6}{36} =$ ** $\dfrac{1}{6}$ **
白玉 3 個と黒玉 2 個が入った袋から同時に 2 個取り出す。両方とも白玉である確率を求めよ。
ヒント
${}_5\mathrm{C}_2 = 10$ 通りから白だけの ${}_3\mathrm{C}_2$ 通り。
解答・解説
$\dfrac{{}_3\mathrm{C}_2}{{}_5\mathrm{C}_2} = \dfrac{3}{10}$
表が出る確率 $\dfrac{2}{3}$ のコインを 4 回投げるとき、表がちょうど 2 回出る確率を求めよ。（発展）
ヒント
反復試行 ${}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$ 。
解答・解説
${}_4\mathrm{C}_2 \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = 6 \cdot \tfrac{4}{9} \cdot \tfrac{1}{9} =$ ** $\dfrac{8}{27}$ **

小ネタ: モンテカルロ法で円周率を推定

結果の名前ではなく、等確率の最小単位を数える

確率を分数で考えられるのは、同じ起こりやすさの結果を一つずつ並べ、そのうち条件を満たす割合を取るからです。公平なサイコロ2個でも、和の2から12までが等確率になるわけではありません。和2を作る組は(1,1)だけですが、和7を作る組は6個あります。赤いサイコロと青いサイコロのように区別し、36個の順序付きの組を出発点にします。

「AまたはB」には、日常語で曖昧になりがちな「両方起きる」場合も含めます。名簿で「運動部または文化部に所属する人」を数えるとき、両方に所属する人を二度数えたら一度戻すのと同じです。この重複調整が加法定理の引き算です。

P(A^c)=1-P(A),\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

「赤赤・赤白・白白の3種類だから各1/3」とは限りません。同色でも玉を仮に1個ずつ区別して等確率の結果を数えます。また、取り出した玉を戻さないなら袋の内訳が変わるので、各回の色は一般に独立ではありません。

例題：重なる事象の「または」

公平なサイコロを1回投げる。偶数が出る事象をA、3の倍数が出る事象をBとする。AまたはBが起こる確率を求めよ。

解答・解説

A＝{2,4,6}、B＝{3,6}で、両方に入るのは6だけ。3/6＋2/6−1/6＝4/6＝2/3。実際に{2,3,4,6}の4個と列挙して確かめられる。

樹形図は「その枝に来た後の確率」を掛ける

樹形図で一本の経路をたどるときは、その時点の条件の下で次の結果が出る確率を掛けます。複数の経路を足すのは、それらが重ならないときです。袋から戻さず2個を順に取る場合、「赤の次に白」と「白の次に赤」は別の経路です。枝の確率の分母は2回目に1個減ります。

例題：取り出し順を分ける方法と、同時に選ぶ方法

赤玉3個、白玉2個の袋から戻さずに2個を順に取る。各段階で残った各玉は等確率で選ばれる。赤白が1個ずつになる確率を求めよ。

解答・解説

赤→白は $(3/5)(2/4)=3/10$ 、白→赤は $(2/5)(3/4)=3/10$ 。二つは排反なので合計 $3/5$ 。同時に2個選ぶ見方なら、全10組のうち赤白の組は $3\times2=6$ 組で $6/10=3/5$ 。二つの方法で分子・分母の順序の扱いをそろえる。

等確率の根元事象を決め、全体を数える。
「かつ」「または」「少なくとも」を区別し、条件を集合や経路に直す。
戻す／戻さない、独立／独立でないを確認する。
答えが0以上1以下か、反対の事象との和が1かを検算する。

全体と条件をそろえる練習

公平なサイコロ2個を独立に投げる。少なくとも一方が6である確率は？
解答・解説
どちらも6でない確率は(5/6)²＝25/36。余事象より1−25/36＝11/36。一方ずつ6になる場合を足すだけだと(6,6)を重複してしまう。
赤玉3個、白玉2個から戻さず2個取るとき、同色になる確率は？各玉は等確率で取られる。
解答・解説
全10組に対し、赤赤が3組、白白が1組なので4/10＝2/5。例題の異色になる確率3/5と足して1になる。
公平なサイコロ1回で、出た目が奇数と分かっている。このとき3以上である確率は？
解答・解説
条件を満たす全体は{1,3,5}の3個。その中で3以上は{3,5}なので2/3。分母を元の6のままにしない。

確率の前提を点検

問1. 公平なサイコロ2個を独立に投げるとき、同様に確からしいのは？

問2. 確率がともに正の二つの事象が排反なら、独立か？

問3. 独立な3回の試行で、各回の成功確率が1/2。少なくとも1回成功する確率は？

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