万有引力と惑星の運動

万有引力からケプラーの法則・衛星の軌道・宇宙速度・重力位置エネルギーまでを導く。

この単元の目標

万有引力と重力の関係（GM = gR²）を使いこなせる
ケプラーの第3法則を万有引力と向心力から導き、軌道計算に使える
重力位置エネルギーと脱出速度を扱える

📑 目次

万有引力の法則
円軌道の運動
宇宙速度と力学的エネルギー

万有引力の法則

すべての物体のあいだにはたらく引力の大きさは、2つの質量の積に比例し、距離の2乗に反比例します。これがニュートンの万有引力の法則で、リンゴが地上に落ちるのも月が地球のまわりをまわるのも、同じ引力で説明できます。比例定数 G は物体の種類によらない普遍定数です。

F = G\frac{Mm}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\;\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2

この式は質点間、または球対称な天体どうしが重ならない場合に使い、r は中心間距離です。以下の軌道計算では中心天体を球対称、周回する物体の質量 m を M より十分小さいとし、他天体の影響・大気抵抗・中心天体の自転を無視します。GM = gR² の g は自転の遠心効果を含まない地表の重力加速度です。

ケプラーの法則	内容	力学から見た意味
第1法則（楕円軌道の法則）	惑星は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描く	引力が距離の逆二乗であることの証拠
第2法則（面積速度の法則）	太陽と惑星を結ぶ直線は等しい時間に等しい面積を掃く	中心方向の力だけではたらくので角運動量が保存する
第3法則（調和の法則）	公転周期の2乗は軌道長半径の3乗に比例（T² ∝ a³）	万有引力が向心力になることから導ける（下参照）

円軌道の運動

円軌道では万有引力がそのまま向心力になります。「引力＝向心力」という1本の運動方程式を立てるだけで、軌道の速さ・周期・中心天体の質量がすべて決まります。地表の重力加速度 g も同じ式の特別な場合（r = 地球半径 R）なので、G と g は GM = gR² で結ばれます。この置き換えで G の値を使わずに計算できるようになるのが定石です。

🔍 ケプラーの第3法則 T² ∝ r³ の導出

Step 1: 万有引力が向心力としてはたらく
$G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
M: 中心天体の質量、m: 惑星の質量、r: 軌道半径。両辺の m は約分されて消える——つまり軌道のようすは惑星自身の質量によらず、中心天体だけで決まります。
Step 2: 速さを周期で書き換える
$v = \frac{2\pi r}{T} \quad\Rightarrow\quad \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$
1周期 T のあいだに周長 2πr を1まわる、というだけの幾何の関係です。
Step 3: 整理する
$\frac{GM}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \quad\Rightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$
右辺の係数 4π²/(GM) は中心天体の質量だけで決まる定数。どの惑星についても同じ値になります。
Step 4: 法則として読み替える
$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{一定}$
距離の逆二乗則だからこそ周期の2乗と半径の3乗の比例が出ます。衛星なら M を地球の質量に読み替えれば、r と T の観測から地球の質量を測定できます。

宇宙速度と力学的エネルギー

地表すれすれの円軌道の速さを第一宇宙速度と呼びます。一方、無限遠に到達できるために必要な速さが脱出速度（第二宇宙速度）です。重力位置エネルギーは無限遠を基準にとると負の値になり、全力学的エネルギーが負のままでは天体は束縛された軌道から逃げられません。

U = -\frac{GMm}{r}, \qquad E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}, \qquad v_{\text{脱}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

例題

地球の半径を R = 6400 km、地表の重力加速度を g = 9.8 m/s² として、地表近くをまわる人工衛星の速さと脱出速度を求めよ。

解答・解説

**GM = gR²** を使う。円軌道: $v = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} \approx 7.9 \times 10^3$ m/s。脱出速度: $v_{\text{脱}} = \sqrt{2gR} \approx 1.1 \times 10^4$ m/s

練習問題

地球とある惑星を、太陽のまわりを円軌道でまわる質量の小さい物体とみなす。惑星の軌道半径が地球の 4 倍なら公転周期は何倍か。
ヒント
ケプラーの第3法則 $T^2 \propto r^3$
解答・解説
$T \propto r^{3/2}$ より $4^{3/2} =$ **8 倍**。
半径 r の円軌道を周期 T でまわる衛星の観測から、中心惑星の質量 M を表せ。
ヒント
第3法則の導出結果 $T^2 = 4\pi^2 r^3 / (GM)$
解答・解説
$M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$ 。木星の衛星イオのデータ（r ≈ 4.22×10⁸ m、T ≈ 1.77 日）に代入すると約 1.9×10²⁷ kg となります。
半径 2R（地表から高さ R）の円軌道の衛星の周期は、地表近くの円軌道の周期の何倍か。
解答・解説
$T \propto r^{3/2}$ より $2^{3/2} \approx$ **2.83 倍**。

確認クイズ（万有引力）

問1. 2つの天体の中心間距離を 3 倍にすると、万有引力は何倍になるか。

問2. 惑星が近日点（太陽に最も近い点）で速く、遠日点で遅く動くのはなぜか。

問3. 全力学的エネルギー E = K + U が負ということはどういう意味か。

📝 メモこの端末のみに保存

メモ欄はページ読み込み後に使えるようになります。