余りで見つける周期：色の並びから曜日まで
同じまとまりを取り除くと何が残るかを考え、割り算の余りを周期の位置と結び付ける。「何番目」と「何日後」の違い、余りの足し算、一の位の繰り返しを段階的に学ぶ。
- 割られる数を「割る数×商＋余り」で表し、余りの範囲を説明できる
- 周期の長さと出発点を決め、余りから繰り返しの位置を求められる
- 「n番目」と「n回進んだ後」の数え方の違いを説明できる
- 余りだけで和の余りを求められる理由と、再び割る必要性を説明できる
- 周期が続く根拠を確かめて、曜日や累乗の一の位を求められる
📑 目次
1．余りは「まとまりを取り除いた残り」
23枚のカードを5枚ずつの束にすると、4束と3枚になります。束を一つ増やして28枚にしても、ばらのカードは3枚のままです。枚数は違っても、5枚のまとまりを取り除いた後の様子は同じ。これが、余りだけに注目してよい場面の出発点です。
ここでは、割られる数Nを0以上の整数、割る数mを正の整数とします。商qは作れるまとまりの個数、余りrは残った個数です。余りがm以上ならもう一つまとまりを作れるので、余りは必ず0以上m未満にします。割る数0は使えません。
0以上30以下の整数のうち、6で割ると2余る数をすべて求めよう。
解答・解説
①「6枚の束と2枚」と考えてN＝6q＋2と置く。②q＝0から増やすと2、8、14、20、26、32、…となる。③32は範囲を超えるので、答えは2、8、14、20、26の5個。各数から2を引くと6の倍数になり、6ずつ増やしたので途中の候補も漏れていません。2÷6の商は0、余りは2です。
2．一周した分を取り除けば、同じ位置に戻る
赤・青・黄・緑の順にカードを並べ、その4枚のまとまりを何度も繰り返します。5番目は1番目と同じ赤、9番目も赤です。繰り返すまとまりの長さを周期と呼びます。この並びでは4が周期です。一周分の4枚を取り除いても、まとまりの中での位置は変わりません。
| 4で割った余り | その位置の番号の例 | 色 |
|---|---|---|
| 1 | 1、5、9、13 | 赤 |
| 2 | 2、6、10、14 | 青 |
| 3 | 3、7、11、15 | 黄 |
| 0 | 4、8、12、16 | 緑（まとまりの最後） |
上の並びの202番目と204番目のカードは何色か。1番目を赤とする。
解答・解説
①周期は4。②202＝4×50＋2だから、50組を取り除くと次の組の2枚目が残り、青。③204＝4×51＋0だから、51組がちょうど終わる位置で、最後の緑です。余り0を「カードがない」と解釈しないことが大切です。
もう一つの数え方は、1番目を出発点として「何回隣へ進むか」を数える方法です。1番目へ行くには0回、2番目へ行くには1回なので、n番目へ行く移動回数はn−1回です。202番目なら201＝4×50＋1。赤から1回進んで青となり、先ほどの答えと一致します。
3．曜日では、今日は0日後
曜日は月・火・水・木・金・土・日と7日で一周します。今日を水曜日とすると、7日後も14日後も水曜日。何週間あったかを取り除いて、残りの日数だけ進めば十分です。ここでは日付や月の日数は計算せず、日付が1回変わることを1日進むこととして扱います。
| 水曜日から進む日数の余り（7で割る） | 曜日 |
|---|---|
| 0 | 水曜日 |
| 1 | 木曜日 |
| 2 | 金曜日 |
| 3 | 土曜日 |
| 4 | 日曜日 |
| 5 | 月曜日 |
| 6 | 火曜日 |
ある水曜日から50日後は何曜日か。また、その水曜日を1日目とする50日目は何曜日か。
解答・解説
①50日後は日付を50回進める。50＝7×7＋1なので、水曜日から1日進んだ木曜日。②水曜日を1日目とする50日目は49日後。49＝7×7で余り0なので水曜日。③最初の2日だけ書くと「1日目＝0日後、2日目＝1日後」となり、1を引く理由を確認できます。
4．余りどうしを足してもよい理由
5枚ずつ束にした二つの山を合わせるとき、すでにある束は余りに影響しません。ばらのカードだけを合わせれば、新しい余りがわかります。ただし、ばらを合わせて5枚以上になったら、もう一度束を作ります。「余りを足した数」が、そのまま最終的な余りとは限りません。
🔍 同じ正の整数mで割ったときの和
- 二つの数を束と余りに分ける
A、B、a、b、r、sは0以上の整数、mは正の整数。
- まとまり部分を一緒にする
m(a＋b)はmで割り切れる。したがってr＋sをmで割った余りだけを調べればよい。
0以上の整数Aは5で割ると4余り、0以上の整数Bは5で割ると3余る。A＋Bを5で割った余りは何か。
解答・解説
①ばらの部分だけを合わせて4＋3＝7。②7＝5×1＋2なので、余りは2。③式でもA＋B＝5(a＋b)＋7＝5(a＋b＋1)＋2と書けます。例えばA＝14、B＝8なら和は22で余り2ですが、式はこの一例に限らず成り立ちます。
5．一の位にも周期がある：続く理由を確かめる
0以上の整数の一の位は、10で割った余りです。例えば127＝10×12＋7の一の位は7。これを3倍すると、10×12を3倍した部分は依然として10の倍数なので、新しい一の位は7×3＝21の一の位だけで決まります。大きな数の全部を計算する必要がありません。
3の累乗は、3を1個、2個、3個、…と掛けた数です。一の位だけを順に3倍すると、3→9→7→1→3となります。同じ一の位に戻れば、次も同じ「3倍する」操作をするため、その先も同じ並びになります。数個の結果が似ているだけでなく、次の状態の決まり方が同じことが周期の根拠です。
| 指数 | 累乗 | 一の位 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 9 | 9 |
| 3 | 27 | 7 |
| 4 | 81 | 1 |
| 5 | 243 | 3（出発点に戻る） |
の一の位を、累乗全体を計算せずに求めよう。
解答・解説
①指数1からの一の位は3、9、7、1の周期4。②26＝4×6＋2だから、この並びの2番目にあたる9が答えです。③指数4なら余り0で一の位1となるので、対応のずれがないかも確認できます。この対応表は指数が1以上の整数の場合に使っています。
6．練習：周期・数える量・対応を順に書く
0以上40以下の整数で、7で割ると4余る数をすべて求めよう。
解答・解説
4、11、18、25、32、39。7q＋4にq＝0、1、2、3、4、5を入れる。次は46で40を超えるので、これで全部。
星・丸・三角の順で繰り返す並びの75番目と76番目は何か。1番目を星とする。
解答・解説
75番目は三角、76番目は星。75＝3×25で余り0は組の最後。76＝3×25＋1で次の組の最初になる。
ある金曜日から45日後は何曜日か。また、その金曜日を1日目とする45日目は何曜日か。
解答・解説
45日後は月曜日。45＝7×6＋3より、土・日・月と3日進む。45日目は44日後で44＝7×6＋2だから日曜日。
0以上の整数AとBは、8で割るとそれぞれ6と7余る。A＋Bを8で割った余りを求めよう。
解答・解説
5。8の倍数部分を除き、6＋7＝13をもう一度8で割る。13＝8＋5なので余り5。13は8以上であり、そのまま余りにはできない。
の一の位を求めよう。
解答・解説
1。一の位は指数1から3、9、7、1の周期4。40＝4×10で余り0なので、4番目の1に対応する。
問1. 29を6で割った商と余りの正しい組は？
問2. 白・黒・赤・青・黄を繰り返す並びで、1番目が白なら100番目は？
問3. 月曜日を1日目とした14日目は何曜日？
問4. 9で割ると7余る数と、9で割ると8余る数の和を9で割った余りは？
まとめ：余りにする前に、出発点を決める
- 一周の長さを決める。曜日なら7、指定された色の並びなら一組の枚数を使う。
- 何を数えているかを確かめる。番号と移動回数は1だけ違う場合がある。
- 割り算でまとまりを取り除き、0以上で割る数未満の余りにする。
- 余りを答えの位置に戻す。特に余り0を小さい例で確かめる。