気体分子の運動論

🔍 pV = (1/3)Nmv̄² の導出——壁との衝突から圧力を数え上げる

1. Step 1: 1個の分子が壁から受ける運動量変化
   $$\Delta p_x = -2mv_x$$

   質量 m、速度成分 vₓ の分子が yz 面に垂直にぶつかると、x 方向の速度が −vₓ に反転する。壁は分子から +2mvₓ の運動量を受け取る。

2. Step 2: 往復時間と単位面積あたりの衝突回数
   $$\Delta t = \frac{2l}{v_x}, \qquad \text{衝突頻度} = \frac{v_x}{2l}$$

   一辺 l の立方体の中を分子が往復するのに 2l/vₓ の時間がかかる。この間に同じ壁に1回ぶつかる。

3. Step 3: 1個の分子が壁に及ぼす力
   $$F_1 = 2mv_x \times \frac{v_x}{2l} = \frac{mv_x^2}{l}$$

   力＝単位時間あたりの運動量変化。「衝撃 2mvₓ ÷ 往復時間 2l/vₓ」で整理すると美しくまとまる。

4. Step 4: 全分子で足し合わせる
   $$F = \sum_i \frac{mv_{x,i}^2}{l} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3l}$$

   分子の速さには大小があるので平均を使う。等方性から vₓ² の平均は v² の平均の 1/3（3方向で均等に分担）。

5. Step 5: 圧力＝力÷面積
   $$p = \frac{F}{l^2} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3l^3} = \frac{1}{3}\frac{Nm\overline{v^2}}{V} \;\Rightarrow\; pV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}$$

   これを理想気体の状態方程式と比較すると (1/2)mv̄² = (3/2)kT が得られ、「温度とは分子運動の激しさである」ことが定量的に示せる。

🔍 平均自由行程 λ = kT/(√2·πd²p) の組み立て

1. Step 1: 衝突の基準となる「排除断面積」
   $$\sigma = \pi d^2$$

   半径 d/2 の分子同士は中心間距離 d 以内に来たら衝突とみなせる。着目分子の進路上で衝突判定になる断面積は πd²。

2. Step 2: 単位距離あたりの衝突相手の数
   $$n\pi d^2 \quad (n: \text{単位体積あたりの分子数})$$

   距離を進むごとに、円柱 πd²×(進んだ距離) の中に入った分子すべてと衝突する。密度 n が高いほど衝突は多い。

3. Step 3: 相手も動いていることを補正
   $$\sqrt{2} \text{ 倍に補正} \Rightarrow n\sqrt{2}\pi d^2$$

   周囲の分子も動いているので、相対速度の分だけ衝突は頻繁になる。厳密な統計力学の計算では √2 倍となる。

4. Step 4: 自由行程の平均をとる
   $$\lambda = \frac{1}{n\sqrt{2}\pi d^2} = \frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2 p}$$

   衝突までに進める平均距離が平均自由行程。理想気体の関係 p = nkT を使えば右辺のように書ける。

5. Step 5: 条件依存性の読み取り
   $$T \uparrow \Rightarrow \lambda \uparrow, \qquad p \uparrow \Rightarrow \lambda \downarrow$$

   分子径一定のモデルでは、圧力一定で温度を上げると数密度が下がるので自由行程が伸びる。温度一定で圧力を上げると短くなる。体積・分子数一定なら温度を上げても自由行程は変わらない。