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数列の和の工夫：差に直して端の項を残す

階差と部分分数を「差を足す」という一つの見方で結び、開始番号・ずれ幅・端項を追って望遠鏡和を計算する。

この単元の目標
  • 隣り合う差を足すと途中の項が消える理由を説明できる
  • 部分分数分解を通分で確かめ、有限和の計算に使える
  • 和の開始番号とずれ幅に応じて、残る端項を正しく書ける
  • 小さい項数での直接計算と差分によって和の式を検算できる
📑 目次
  1. 1　合計なのに、途中を計算しなくてよいのはなぜ？
  2. 2　階差を足す向き、和を差に直す向き
  3. 3　例題1：多項式も「前後の差」になる
  4. 4　分数の積を、引き算にほどく
  5. 5　2つ先と消えるなら、端にも2項残る
  6. 6　答えを疑うための二つの検算
  7. 練習：まず端項だけを予想しよう

1　合計なのに、途中を計算しなくてよいのはなぜ？

歩数計が朝120歩、昼450歩、夕方730歩を示したとします。朝から昼は330歩、昼から夕方は280歩なので、朝から夕方は610歩です。同じ結果は730−120でも求められます。昼の450は一度足され、一度引かれるからです。「変化の合計は最後と最初の差」という仕組みを、数列の和にも使います。

(450−120)+(730−450)=730−120=610(450-120)+(730-450)=730-120=610

以下では実数の数列と有限和を扱います。n,mn,m は正の整数で m≤nm\le n とし、∑k=mn\sum_{k=m}^{n} は k=m,m+1,…,nk=m,m+1,\ldots,n を代入した項を足す記号です。項数は n−m+1n-m+1 個。以後の抽象的な数値には単位はなく、すべて近似でない等式です。

2　階差を足す向き、和を差に直す向き

数列 aka_k の隣り合う差 ak+1−aka_{k+1}-a_k が階差です。差を足すときには、まず3項を書いてみましょう。真ん中の am+1,am+2a_{m+1},a_{m+2} は正負の組になりますが、最初の負の項 −am-a_m と最後の正の項は組を持ちません。

🔍 途中が消える様子を省略せずに見る

  1. (am+1−am)+(am+2−am+1)+(am+3−am+2)=am+3−am(a_{m+1}-a_m)+(a_{m+2}-a_{m+1})+(a_{m+3}-a_{m+2})=a_{m+3}-a_m

    同じ番号の項どうしだけが消える。

  2. ∑k=mn(ak+1−ak)=an+1−am\sum_{k=m}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_m

    最終の k は n。そこで現れる正の項は a_n ではなく a_{n+1}。

  3. ∑k=mn(bk−bk+1)=bm−bn+1\sum_{k=m}^{n}(b_k-b_{k+1})=b_m-b_{n+1}

    引き算の向きを逆にした形も使う。右辺の符号も逆になる。

このように中間の項が相殺されて短くなる和を、伸縮する望遠鏡になぞらえて「望遠鏡和」と呼びます。既知の階差から数列を復元するだけでなく、足したい式を「何かの差」に作り替えるのがこのレッスンの中心です。

「全部消える」のではありません。∑k=1n−1(ak+1−ak)=an−a1\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_1 ですが、上限が nn なら an+1−a1a_{n+1}-a_1 です。上限を見て最後の括弧を実際に書く習慣をつけましょう。空の和を0とする約束を使えば、前者は n=1n=1 にも対応します。

3　例題1：多項式も「前後の差」になる

立方数の差を展開すると二次式になります。次数が一つ下がるので、二次式の和に立方数の差が隠れていないか探せます。まず (k+1)3−k3(k+1)^3-k^3 を手元で展開し、次の式と比べてください。

(k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
例題1　開始番号が1とは限らない

S=∑k=25(3k2+3k+1)S=\sum_{k=2}^{5}(3k^2+3k+1) を、平方数の和の公式を使わずに求めよう。

解答・解説

各項は (k+1)3−k3(k+1)^3-k^3。したがって S=(33−23)+(43−33)+(53−43)+(63−53)=63−23=208S=(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+(5^3-4^3)+(6^3-5^3)=6^3-2^3=208。最初の負の端項は −13-1^3 ではなく −23-2^3。独立に元の式へ代入すると 19+37+61+91=20819+37+61+91=208 で一致します。

4　分数の積を、引き算にほどく

分母が k(k+1)k(k+1) だと、そのまま多数の分数を通分するのは大変です。ところが 1/k1/k と 1/(k+1)1/(k+1) を引くと、分子に残るのは (k+1)−k=1(k+1)-k=1。この逆向きの見方が部分分数分解です。分数を小さな分数の和や差に分け、隣の項と消せる形にします。

🔍 差の間隔が係数を決める

  1. 1k−1k+1=k+1−kk(k+1)=1k(k+1)\frac1k-\frac1{k+1}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac1{k(k+1)}

    ここでは k は正の整数なので、どちらの分母も0ではない。

  2. 1k−1k+d=dk(k+d)\frac1k-\frac1{k+d}=\frac{d}{k(k+d)}

    一般に d が0でなく、k と k+d が0でない範囲で成り立つ。

  3. 1k(k+d)=1d(1k−1k+d)\frac1{k(k+d)}=\frac1d\left(\frac1k-\frac1{k+d}\right)

    以下の和では d も正の整数とする。前に掛ける 1/d を忘れない。

例題2　1項ずつずらして、両端を拾う

Tn=∑k=2n1k(k+1)T_n=\sum_{k=2}^{n}\frac1{k(k+1)} を求めよう。ただし n≥2n\ge2 とする。

解答・解説

分解すると Tn=∑k=2n(1k−1k+1)=12−1n+1=n−12(n+1)T_n=\sum_{k=2}^{n}(\frac1k-\frac1{k+1})=\frac12-\frac1{n+1}=\frac{n-1}{2(n+1)}。正の分数の分母は2からn、負の分数の分母は3からn+1。共通の3からnが消え、正の1/2と負の1/(n+1)が残ります。最小の n=2n=2 では共通部分は空で、T2=1/6=1/2−1/3T_2=1/6=1/2-1/3。n=4n=4 なら直接計算で 1/6+1/12+1/20=3/101/6+1/12+1/20=3/10、式でも 1/2−1/5=3/101/2-1/5=3/10 です。

5　2つ先と消えるなら、端にも2項残る

1/k−1/(k+2)1/k-1/(k+2) では隣の括弧とはすぐ消えません。正の分母の列と負の分母の列を上下に並べると、2つずれているとわかります。小さい側で二つ、大きい側で二つが共通部分からはみ出すのです。

和の部分分母の範囲（k=1からn、n≥2）相殺後に残るもの
正の部分1, 2, …, n1 と 1/2
負の部分3, 4, …, n+2−1/(n+1) と −1/(n+2)
共通部分3からn（n=2なら空）正負で相殺される
例題3　ずれ幅2の望遠鏡和

Un=∑k=1n1k(k+2)U_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+2)} を求め、n=3n=3 で確かめよう。nn は正の整数とする。

解答・解説

分解には係数1/2が必要です。n≥2n\ge2 では Un=12∑k=1n(1k−1k+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)U_n=\frac12\sum_{k=1}^{n}(\frac1k-\frac1{k+2})=\frac12(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2})。n=3n=3 の括弧は (1−13)+(12−14)+(13−15)(1-\frac13)+(\frac12-\frac14)+(\frac13-\frac15) で、消えるのは −1/3-1/3 と +1/3+1/3。結果は 12(32−14−15)=2140\frac12(\frac32-\frac14-\frac15)=\frac{21}{40}。元の和も 1/3+1/8+1/15=21/401/3+1/8+1/15=21/40 です。n=1n=1 は別に確認すると、公式の括弧の +1/2+1/2 と −1/2-1/2 が消えて 12(1−1/3)=1/3\frac12(1-1/3)=1/3 となり、同じ式が使えます。

例題3を 12(1−1n+2)\frac12(1-\frac1{n+2}) とすると、+1/2+1/2 と −1/(n+1)-1/(n+1) を落としています。分解の係数と、相殺されない端項の数は別々に確認します。また分解は分母が0の項を救済しません。たとえば 1/{k(k−1)}1/\{k(k-1)\} の和に k=1k=1 を含めることはできません。

6　答えを疑うための二つの検算

長い式をもう一度同じ方法で計算するより、別の角度で調べましょう。初めの和 SmS_m が元の1項と合うか、次に増えた量 Sn−Sn−1S_n-S_{n-1} が元の第n項と合うかを確認します。この二つが全範囲で成り立てば、1項ずつ積み上げた和と一致します。

🔍 例題3の答えを差分で検証

  1. U1=12(1+12−12−13)=13U_1=\frac12\left(1+\frac12-\frac12-\frac13\right)=\frac13

    初めの和は元の第1項に一致。

  2. Un−Un−1=12(1n−1n+2)=1n(n+2)(n≥2)U_n-U_{n-1}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)=\frac1{n(n+2)}\quad(n\ge2)

    共通の定数と 1/(n+1) が消え、増えた分が元の第n項になる。

作業の順番は「通分して分解を確認→最初と最後の括弧を書く→正負で共通する番号を探す→端項を残す→小さい項数と差分で検算」。ここで扱ったのは有限和です。項数を無限に増やす話には、別に極限の検討が必要です。

練習：まず端項だけを予想しよう

練習問題

  1. ∑k=37{(k+1)2−k2}\sum_{k=3}^{7}\{(k+1)^2-k^2\} を求めよう。

    ヒント

    最初の括弧と最後の括弧を書く。

    解答・解説

    82−32=558^2-3^2=55。最初は 42−324^2-3^2、最後は 82−728^2-7^2 なのでこの二つの端が残ります。展開した各項を足しても 7+9+11+13+15=557+9+11+13+15=55 です。

  2. ∑k=3n2k(k+1)\sum_{k=3}^{n}\frac{2}{k(k+1)} を求めよう。n≥3n\ge3 とする。

    解答・解説

    2∑k=3n(1k−1k+1)=2(13−1n+1)=2(n−2)3(n+1)2\sum_{k=3}^{n}(\frac1k-\frac1{k+1})=2(\frac13-\frac1{n+1})=\frac{2(n-2)}{3(n+1)}。始点が3なので正の端項は 2/32/3。n=3n=3 で元の1項と同じ 1/61/6 になります。

  3. ∑k=241k(k+2)\sum_{k=2}^{4}\frac1{k(k+2)} を求めよう。

    解答・解説

    12{(12−14)+(13−15)+(14−16)}=12(12+13−15−16)=730\frac12\{(\frac12-\frac14)+(\frac13-\frac15)+(\frac14-\frac16)\}=\frac12(\frac12+\frac13-\frac15-\frac16)=\frac7{30}。正負の 1/41/4 だけが相殺されます。直接計算も 1/8+1/15+1/24=7/301/8+1/15+1/24=7/30 です。

  4. a1=2a_1=2、ak+1−ak=1/{k(k+1)}a_{k+1}-a_k=1/\{k(k+1)\}（k≥1k\ge1）のとき、ana_n を求めよう。

    解答・解説

    n≥2n\ge2 で an=2+∑k=1n−1(1k−1k+1)=3−1na_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}(\frac1k-\frac1{k+1})=3-\frac1n。第n項に到着するには階差をn−1個足します。n=1n=1 でも 3−1=23-1=2 で初項と一致するので、すべての正の整数nで使えます。

確認クイズ：何が残る？

問1. ∑k=4n(bk−bk+1)\sum_{k=4}^{n}(b_k-b_{k+1})（n≥4n\ge4）の値は？

問2. 正の整数kについて、1/{k(k+3)}1/\{k(k+3)\} の正しい分解は？

問3. ∑k=1n(1k−1k+2)\sum_{k=1}^{n}(\frac1k-\frac1{k+2})（n≥2n\ge2）で相殺後に残るものは？

問4. ある有限和の候補式を、最初の項から順に正しいと確認する方法は？

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