ベクトルと内積

ベクトルの和・差・実数倍と、大きさ・なす角を結びつける内積。

この単元の目標

大きさと向きをもつ量がベクトルです。成分表示では $\vec{a} = (a_1, a_2)$ のように書き、加減算は成分ごとに行います。

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2), \qquad k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2

零ベクトルでない $\vec{a},\vec{b}$ について、 $\vec{a} \perp \vec{b}$ （垂直） $\iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 。零ベクトルとの内積は 0 だが、なす角は定義しない
$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ （大きさは自分自身との内積から出る）
内積の計算法則：分配法則 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$ が成り立つ

例題

$\vec{a} = (2, 1)$ , $\vec{b} = (-1, x)$ が垂直になるとき、 $x$ の値を求めよ。

解答・解説

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2 + x = 0$ より ** $x = 2$ **

🔍 余弦定理から内積の成分表示へ

同じ始点から2本のベクトルを描く
$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$
零ベクトルでない2本のベクトルがつくる三角形に余弦定理を使います。平行な場合も式は成り立ちます。
左辺を成分で展開する
$(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2(a_1b_1+a_2b_2)$
両方の式を比較する
$|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2$
向きの情報を含む量が、成分の積の和だけで計算できる理由です。

なす角を求める

$\vec{a}=(1,1),\vec{b}=(2,0)$ のなす角を求めよ。

解答・解説

内積は 2、大きさは $\sqrt{2}$ と 2。したがって $\cos\theta=2/(2\sqrt{2})=1/\sqrt{2}$ 。 $0\le\theta\le\pi$ より $\theta=\pi/4$ （45°）です。

練習問題

$\vec{a}=(3,-1),\vec{b}=(1,2)$ とする。 $2\vec{a}-\vec{b}$ とその大きさを求めよ。
解答・解説
$2\vec{a}-\vec{b}=(6,-2)-(1,2)=(5,-4)$ 。大きさは $\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{41}$ 。
$\vec{a}=(1,2),\vec{b}=(2,-1)$ とする。 $(\vec{a}+t\vec{b})\cdot\vec{a}=0$ となる実数 t はあるか。
解答・解説
$\vec{a}\cdot\vec{a}=5$ 、 $\vec{b}\cdot\vec{a}=0$ なので左辺は $5+t\cdot0=5$ 。0 にならないため、そのような実数 t は存在しません。

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