期待値と分散

🔍 V(X) = E(X^2) - m^2 の導出

1. 定義を展開する
   $$V(X) = \sum_i (x_i - m)^2 p_i = \sum_i \left(x_i^2 - 2 m x_i + m^2\right) p_i$$
2. 3 つの和に分ける
   $$= E(X^2) - 2m E(X) + m^2$$

   $\sum_i p_i = 1$ と $m$ が定数であることを使った

3. m = E(X) を代入
   $$= E(X^2) - 2m^2 + m^2 = E(X^2) - m^2$$

   分散は「2乗の平均 − 平均の2乗」と覚えると計算が速い

🔍 E(aX + Y) = aE(X) + E(Y) の証明

1. 同時確率で定義を書く
   $$E(aX + Y) = \sum_i \sum_j (a x_i + y_j)\, p_{ij}$$

   $p_{ij}$ は $X = x_i$ かつ $Y = y_j$ となる同時確率

2. aX の項と Y の項に分離
   $$= a \sum_i x_i \left( \sum_j p_{ij} \right) + \sum_j y_j \left( \sum_i p_{ij} \right)$$
3. 周辺確率にまとめる
   $$= a \sum_i x_i p_i + \sum_j y_j q_j = aE(X) + E(Y)$$

   括弧内の和は周辺確率 $p_i$, $q_j$ に等しい。独立性はどこにも使っていない