行列の応用

逆行列で連立一次方程式を解き、点の移動の合成を行列積で処理し、正則性を判定する。

この単元の目標

逆行列を公式と掃き出し法で求め、連立一次方程式の解を行列形式で書ける
点の移動の合成を表現行列の積で計算できる
行列式による正則性の判定と、解が一意に定まる条件を説明できる

📑 目次

連立一次方程式の行列形式
逆行列で解く仕組み
点の移動の合成
練習問題
確認クイズ

連立一次方程式の行列形式

2 元連立一次方程式は、係数行列 A・未知数ベクトル x・定数ベクトル b を使って $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ という一つの行列方程式にまとめられます。この形にすると、解く操作が「両辺に A の逆行列を掛ける」という統一的な手続きになり、3 元以上やコンピュータでの計算にもそのまま拡張できます。逆行列が存在しないときは、解なしまたは解が無数にあるケースに分かれていくのが流れです。

対象	行列形式
2 元連立方程式	$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$
解（A が正則）	$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
逆行列	$A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

逆行列で解く仕組み

🔍 x = A^(-1)b の導出

左から A の逆行列を掛ける
$A^{-1}(A\mathbf{x}) = A^{-1}\mathbf{b}$
結合法則でまとめる
$(A^{-1}A)\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
行列の積には結合法則が成り立つ。掛ける順序（左右）を守るのが要点
単位行列に潰す
$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
$A^{-1}A = E$ より左辺は x だけが残る。det A = 0 なら $A^{-1}$ が存在しないのでこの手続きは使えない

AB = E となる B は A が正則のときに限り

B = A^{-1}

に一致します。数値を入れる前に対称性や det の値を確認しておくと、逆行列の計算ミスを早めに発見できます。

点の移動の合成

1 次変換 f の表現行列を F、続く g の表現行列を G とすると、合成 g∘f の表現行列は積 GF になります。順序が「後から適用するものが左」なのは、列ベクトルが右側から作用されるためです。回転・対称移動・せん断などの基本移動を組み合わせれば、複雑な図形の変形も行列の積一発で記述でき、逆の移動は逆行列で表せます。

\text{g after f}: \quad \mathbf{p}' = G(F\mathbf{p}) = (GF)\mathbf{p}, \qquad \text{undo f}: \quad \mathbf{p} = F^{-1}\mathbf{p}'

例題: 回転の合成と逆変換

点 P を原点まわり 90° 回転したあと、y 軸に関する対称移動で点 Q に移した。P(3, 1) に対応する Q の座標を求めよ。

解答・解説

$GF = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ なので $Q = (1, 3)$

練習問題

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。
ヒント
$ad - bc$ を先に計算してから公式に当てはめる。
解答・解説
$\det A = 1$ より $A^{-1} =$ ** $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ **
連立方程式 $2x + y = 4$ , $5x + 3y = 11$ を逆行列を使って解け。
ヒント
$A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}$ 。
解答・解説
** $(x, y) = (1, 2)$ **
点 (2, 0) を原点まわり 90° 回転し、さらに原点まわり 90° 回転した点を求めよ。結果を $F^2$ で確かめよ。（発展）
ヒント
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = -E$ 。
解答・解説
90° × 2 = 180° 回転なので **(-2, 0)**。 $F^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ とも一致する
$A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & k - 1 \end{pmatrix}$ が正則でないような k の値を求めよ。（発展）
ヒント
正則でない ⟺ 行列式が 0。
解答・解説
$k(k-1) - 6 = 0$ より **k = 3, -2**

確認クイズ

問1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ について正しいのはどれか。

問2. 1 次変換 f のあとに g を施す合成変換の表現行列は？（f, g の表現行列を F, G とする）

問3. $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ で $\det A = 0$ のとき、解の状況として考えられるものはどれか。

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