2曲線で囲まれる面積と1/6公式

交点と上下関係を調べて面積を定積分で表し、二次式の差から1/6公式を導く。

この単元の目標

多項式で表された2曲線の交点を求め、各区間の上下関係を判断できる。
上下が入れ替わる場合に積分区間を分け、正の面積を足し合わせられる。
1/6公式を導出し、差が二次式になる場合という適用条件を説明できる。

📑 目次

1．面積の高さは「上の式 − 下の式」
2．交点間の幅から求める1/6公式
3．上下が入れ替わるなら区間を分ける

1．面積の高さは「上の式 − 下の式」

2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の間の縦の長さは、同じ x での上側の y 座標から下側の y 座標を引いたものです。したがって $a\le x\le b$ で $f(x)\ge g(x)$ なら、面積は次の定積分になります。両方の曲線が x 軸より下にあっても考え方は同じです。

S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx\qquad(f(x)\ge g(x))

交点：f(x) = g(x) を解き、交点の x 座標を小さい順に並べる。
上下：隣り合う交点の間で f(x) − g(x) の符号を調べる。
積分：区間ごとに「上 − 下」を積分し、すべての面積を足す。
検算：各区間の面積が0以上であるか、境界を取り違えていないか確認する。

例題1：放物線と直線で囲まれる面積

$y=x^2$ と $y=2x+3$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

解答・解説

交点は $x^2=2x+3$ 、すなわち $(x+1)(x-3)=0$ より $x=-1,3$ 。座標は $(-1,1),(3,9)$ 。区間 $-1<x<3$ で $2x+3-x^2=-(x+1)(x-3)>0$ なので直線が上。 $S=\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx=[-x^3/3+x^2+3x]_{-1}^{3}=9-(-5/3)=\boxed{32/3}$ 。下端での値を引くときの符号に注意する。

2．交点間の幅から求める1/6公式

2曲線の差が二次式で、異なる2つの実数の交点 $\alpha<\beta$ をもつ場合を考えます。差を $f(x)-g(x)=A(x-\alpha)(x-\beta)$ （ $A\ne0$ ）と書くと、交点の間の縦の長さは $|A|(x-\alpha)(\beta-x)$ です。幅だけで面積を表せる理由を、多項式の積分で確かめましょう。

🔍 1/6公式の導出：原始関数を作って両端で評価

① 幅 h = β − α を使って展開する
$(x-\alpha)(\beta-x)=h(x-\alpha)-(x-\alpha)^2,\qquad h=\beta-\alpha>0$
β − x = h − (x − α) と書き換えた。積分する式は二次式のまま。
② 微分すると元の式になる整式を作る
$F(x)=\frac{h}{2}(x-\alpha)^2-\frac{1}{3}(x-\alpha)^3,\qquad F'(x)=h(x-\alpha)-(x-\alpha)^2$
α は定数なので、二乗・三乗を展開して微分すれば確認できる。置換積分などの新しい公式は不要。
③ 両端の値を引き、係数の絶対値を掛ける
$S=|A|\{F(\beta)-F(\alpha)\}=|A|\left(\frac{h^3}{2}-\frac{h^3}{3}\right)=\frac{|A|}{6}(\beta-\alpha)^3$
下端では x − α = 0、上端では x − α = h。1/2 − 1/3 = 1/6 が公式の由来。

S=\frac{|A|}{6}(\beta-\alpha)^3\quad\left(f(x)-g(x)=A(x-\alpha)(x-\beta),\quad\alpha<\beta\right)

例題1では差の二次の係数の絶対値は1、交点間の幅は4なので

S=1\times4^3/6=32/3

。2つとも放物線でも、差が二次式で異なる2交点をもてば使えます。A は片方の曲線の係数ではなく、2つの式を引いた結果の二次の係数です。

3．上下が入れ替わるなら区間を分ける

交点が3つ以上あると、途中で上下が入れ替わることがあります。差をそのまま全区間で積分すると、正の部分と負の部分が打ち消し合ってしまいます。交点で区切り、各区間の差の符号を調べてから「上 − 下」を決めるのが確実です。交点でも、差の符号が変わらなければ上下は入れ替わりません。

例題2：三次曲線と直線、2つの部分の面積

$y=x^3$ と $y=x$ で囲まれる2つの部分の面積の和を求めよ。

解答・解説

交点は $x^3=x$ より $x=-1,0,1$ 、座標は $(-1,-1),(0,0),(1,1)$ 。 $-1<x<0$ では $x^3-x=x(x-1)(x+1)>0$ で三次曲線が上、 $0<x<1$ では直線が上。したがって $S=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx=[x^4/4-x^2/2]_{-1}^{0}+[x^2/2-x^4/4]_0^1=1/4+1/4=\boxed{1/2}$ 。全区間で $x^3-x$ を積分すると0だが、面積は0ではない。

例題2の区間	上側	積分する高さ	面積
$-1<x<0$	$y=x^3$	$x^3-x$	$1/4$
$0<x<1$	$y=x$	$x-x^3$	$1/4$

1/6公式を使うには、差が

A(x-\alpha)(x-\beta)

という二次式で、

\alpha<\beta

が必要です。差が三次式になる例題2には使えません。二次式に異なる実根がなければ、この形の2交点間の囲まれた領域はできません。また積分区間全体で差の符号が変わる場合、定積分を計算した後で絶対値を付けるだけでは面積になりません。

練習：交点・上下・係数を自分で決める

$y=x^2$ と $y=4$ で囲まれる面積を求めよ。
ヒント
交点は x = −2, 2。区間の中央で、どちらが上か確かめる。
解答・解説
$-2<x<2$ では直線が上。 $S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=[4x-x^3/3]_{-2}^{2}=32/3$ 。1/6公式でも $1\times(2-(-2))^3/6=32/3$ 。
$y=3x^2$ と $y=x^2+4x$ で囲まれる面積を求めよ。
ヒント
差は 2x² − 4x。交点間の幅だけでなく二次の係数の差も使う。
解答・解説
$2x(x-2)=0$ より交点の x 座標は0と2。 $0<x<2$ で $x^2+4x$ が上なので $S=\int_0^2(4x-2x^2)\,dx=8/3$ 。1/6公式では $|A|=2$ 、幅2より $2\times2^3/6=8/3$ 。係数3や1をそのまま使わない。
$y=x^3$ と $y=4x$ で囲まれる部分の面積の和を求めよ。
ヒント
x(x − 2)(x + 2) = 0 より交点を求め、x = 0 で積分を分ける。
解答・解説
交点の x 座標は $-2,0,2$ 。左では三次曲線、右では直線が上。 $S=\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx+\int_0^2(4x-x^3)\,dx=4+4=8$ 。差が三次式なので1/6公式ではなく多項式を直接積分する。

確認クイズ

問1. $\int_{-1}^{1}(x^3-x)\,dx=0$ から何がいえる？

問2. 差が $-2(x+1)(x-2)$ の2曲線について、2交点間の面積は？

📝 メモこの端末のみに保存

メモ欄はページ読み込み後に使えるようになります。