二次関数のグラフと最大・最小

平方完成により頂点を求め、変域における最大・最小を考える。

この単元の目標

📑 目次

同じ放物線でも、見る範囲を変えると最も低い点は変わります。坂道の底が柵の外なら、柵の中で最も低いのは入口のどちらかです。定義域付きの最大・最小では、まず「頂点まで行けるか」を確認します。

y=a(x−p)²+q の二乗部分は、xと軸pとの距離の二乗です。a>0なら近いほど値が小さく、a<0なら近いほど値が大きい。閉区間では、軸が区間内にあるときだけ頂点を候補に加え、両端の値と比較すれば済みます。

軸が動く問題も距離で考えます。区間[0,4]なら両端から等距離の軸はp=2。a>0の放物線の最大値は、p<2なら右端、p>2なら左端にあり、p=2なら両端で同じです。これは値の大小を式で比較した結果とも一致します。

頂点のy座標がいつでも最小値になるわけではありません。頂点が定義域の外なら候補から外します。また「最大値」と「最大値をとるx」は別の量なので両方を区別して答えましょう。

例題：頂点が範囲の外にあるとき

y=(x−3)²+2、0≤x≤2の最大値と最小値を求めよ。

解答・解説

軸3に最も近いのはx=2、最も遠いのはx=0。最小値は3（x=2）、最大値は11（x=0）。頂点の値2はこの定義域ではとれません。

例題：軸が動くと最大値はどちらの端か

y=(x−p)²、0≤x≤4の最大値をpで場合分けせよ。

解答・解説

端点の値はp²と(4−p)²。右端−左端=16−8pなので、p<2では(4−p)²（x=4）、p>2ではp²（x=0）。p=2では最大値4を両端でとります。

練習：判断の理由も確かめよう

$y = ax^2 + bx + c$ （ $a \ne 0$ ）を頂点の形に変形する手続きが平方完成です。二乗の項を作ることで、頂点と軸の位置を式から読み取れます。

y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}

🔍 平方完成はなぜ「頂点の形」になるのか——導出

Step 1: x² の項にまとめる
$ax^2 + bx = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right)$
まず $x^2$ の係数 a を括り出す。中身の一次の項は $(b/a)x$ となる。
Step 2: 完全平方をつくる
$x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
「一次の係数の半分」を足して2乗し、余分に加えた分を引いて帳消しにする。これが完全平方の核心。
Step 3: 元に戻す
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
$-(b/(2a))^2$ を a 倍すると $-\frac{b^2}{4a}$ 。これを c と通分する。頂点は $(x, y) = (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$ 。

例題（平方完成）

$y = x^2 - 4x + 1$ を平方完成せよ。

解答・解説

$y = (x - 2)^2 - 3$ 。頂点 $(2, -3)$ 、軸 $x = 2$

定義域（x の変域）が制限されると、放物線の一部だけを考えます。頂点が変域に含まれるかが最大最小の分かれ目です。

例題

$y = x^2 - 2x - 1$ ( $-1 \le x \le 3$ ) の最大値・最小値を求めよ。

解答・解説

平方完成すると $y = (x-1)^2 - 2$ 。頂点 $x=1$ は変域内なので**最小値 −2 ( $x=1$ )**。両端の値は $x=-1$ : $2$ 、 $x=3$ : $2$ より**最大値 2**

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