二次不等式

グラフと x 軸の位置関係から二次不等式を解く。

この単元の目標

方程式は境界の点を探す問題、不等式はその境界の間や外側を選ぶ問題です。たとえば放物線の高さが2以下の場所を探すなら、まず高さ2の水平線との交点を探すと、許される区間が見えてきます。

右辺が0でなければ移項して一つの二次式にまとめます。異なる根があるときは根で区切った各区間から一点ずつ代入すれば符号を確認できます。因数の符号は根を通らない限り変わらないので、代表一点による確認が有効なのです。

複数の条件を同時に満たす解は共通部分です。「または」なら和集合、「かつ」なら共通部分を数直線で読みます。境界を含むかは元の不等号で決め、最後に境界を代入して検算しましょう。

未知数xを含む式で両辺を割ると、符号による場合分けや0の確認が必要になります。特に x(x−2)>0 を x−2>0 にしてはいけません。負×負で正になる解を落としてしまいます。

例題：水平線との比較

x²−4x+3≤2を解け。

解答・解説

(x−2)²≤3なので、2からの距離が√3以下。解は2−√3≤x≤2+√3。移項後の二次式の根を求めても同じです。

例題：定義域との共通部分

x²−x−6>0、かつ−3≤x≤2を満たす範囲は。

解答・解説

(x+2)(x−3)>0よりx<−2またはx>3。指定区間との共通部分は−3≤x<−2。−3は元の式で6>0、−2は0なので含みません。

練習：判断の理由も確かめよう

$ax^2 + bx + c > 0$ （ $a \ne 0$ ）を解くとは、「グラフが x 軸より上になる x の範囲」を求めることです。二次方程式の実数解を境界にして符号を調べます。実数解がない場合には、二次式の符号は全域で一定です。

D = b^2 - 4ac

例題

$x^2 - 5x + 6 > 0$ を解け。

解答・解説

$(x-2)(x-3) > 0$ より解は ** $x < 2$ , $3 < x$ **（境界を含めないことに注意）

🔍 なぜ「外側が正、内側が負」になるのか

Step 1: 2つの実数解で因数分解
$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta),\quad a>0,\quad \alpha<\beta$
まず二次の係数が正の場合を考える。
Step 2: 因子の符号を調べる
$\begin{array}{c|ccc}x&x<\alpha&\alpha<x<\beta&\beta<x\\\hline x-\alpha&-&+&+\\ x-\beta&-&-&+\\ f(x)&+&-&+\end{array}$
同符号どうしの積は正、異符号の積は負。根では積は0になる。
Step 3: 二次の係数が負なら反転
$a<0\quad\Longrightarrow\quad f(x)\text{ の符号は外側で負、内側で正}$
「外側」と暗記するだけでは不十分。負の数で不等式の両辺を割る場合も、不等号の向きを逆にする。

練習問題（符号と境界を確認）

$-x^2+5x-6\ge0$ を解け。
ヒント
両辺に −1 を掛けたら不等号を逆向きにする。
解答・解説
$(x-2)(x-3)\le0$ より ** $2\le x\le3$ **。根の内側では積が負、根では0なので両端を含む。
$(x-2)^2>0$ と $(x-2)^2\le0$ をそれぞれ解け。
解答・解説
二乗は常に0以上で、0になるのは $x=2$ のみ。前者は ** $x\ne2$ **、後者は ** $x=2$ **。重解を異なる2つの根と同じように扱わない。
$x^2+2x+3<0$ を解け。
解答・解説
$x^2+2x+3=(x+1)^2+2\ge2$ なので **解なし**。 $D=-8<0$ かつ二次の係数が正であることからも判断できる。

>

なら境界を含まず、

\ge

なら含みます。答えを書き終えたら必ず境界の扱いを確認しましょう。

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