交流の実効値・電力と理想変圧器

正弦波の平均電力を導き、力率と変圧器の電力保存から高電圧送電の利点を定量的に考える。

この単元の目標

正弦波の実効値と平均値を区別し、平均電力 VI cosφ を導ける
力率が電流と抵抗損失に与える影響を、同じ有効電力で比較できる
理想変圧器の巻数比・電流比を用い、送電線の損失を計算できる

📑 目次

実効値は「同じ発熱を生む直流」の値
力率は電流のうち電力輸送に効く割合
理想変圧器：電圧を上げると電流が下がる
送電線の損失は実効電流の二乗に比例する

実効値は「同じ発熱を生む直流」の値

正弦波電流の一周期平均はゼロですが、抵抗は正負どちらの電流でも発熱します。そこで二乗の平均の平方根を実効値と呼びます。同じ抵抗に流して同じ平均発熱を生む直流電流が I です。本記事はインピーダンスの計算を繰り返さず、電力とエネルギー輸送に焦点を当てます。

過渡状態が終わった、同じ角周波数 ω の正弦波電圧・電流を扱います。v は負荷の正端子の電位から負端子の電位を引いた値、i は正端子に入る向きを正とし、p = vi を負荷の吸収電力とします。V、I は実効値、Vₘ、Iₘ は振幅。位相差 φ は電圧の位相 − 電流の位相で、φ > 0 は電流の遅れです。

v(t)=V_m\sin\omega t,\quad i(t)=I_m\sin(\omega t-\phi),\quad T=\frac{2\pi}{\omega}

🔍 実効値と平均電力の導出

一周期で二乗を平均する
$I^2=\frac1T\int_0^T i(t)^2\,dt=\frac{I_m^2}{2}$
sin² の一周期平均は 1/2。位相をずらしても変わりません。電圧も同様です。
正の平方根を取る
$I=\frac{I_m}{\sqrt2},\qquad V=\frac{V_m}{\sqrt2}$
瞬時値の平均ではなく、二乗平均平方根です。
瞬時電力を積和公式で変形する
$p(t)=\frac{V_m I_m}{2}\{\cos\phi-\cos(2\omega t-\phi)\}$
瞬時電力は一定ではなく、元の交流の 2 倍の周波数の成分を含みます。
振動する項を一周期平均する
$P=\frac1T\int_0^T p(t)\,dt=\frac{V_m I_m}{2}\cos\phi=VI\cos\phi$
余弦の振動項の平均はゼロ。有効電力 P の単位は W です。

力率は電流のうち電力輸送に効く割合

皮相電力 S = VI（単位 VA）に対する有効電力 P の比が力率です。正弦波では P/S = cosφ。受動負荷では 0 ≤ cosφ ≤ 1 です。理想抵抗は同位相で力率 1、理想コイルや理想コンデンサーだけなら位相差が ±90° で平均電力はゼロです。それでもエネルギーは一周期の途中で蓄積・返還され、電流は流れています。

S=VI,\qquad \text{力率}=\frac PS=\cos\phi,\qquad I=\frac{P}{V\cos\phi}\ \ (V>0,\ \cos\phi>0)

逆算式

I=P/(V\cos\phi)

は有効電力を受け取る負荷（

\cos\phi>0

）で使います。力率 0 の理想コイルだけでは

P=0

で電流の大きさは決まらないため、この式から電流を求めることはできません。また「実効値 = 振幅/√2」と「力率 = cosφ」は正弦波という条件つきです。波形がひずむ場合も二乗平均平方根として実効値を定義できますが、これらの簡単な式は一般には使えません。交流電流の平均がゼロでも、平均電力がゼロとは限りません。

例題1：実効値・有効電力・力率

v(t) = 200 sinωt V、i(t) = 5.0 sin(ωt − π/3) A の負荷について、実効電圧・実効電流・皮相電力・平均電力を求めよ。

解答・解説

$V=200/\sqrt2\approx141\,\mathrm{V}$ 、 $I=5.0/\sqrt2\approx3.54\,\mathrm{A}$ 。 $S=VI=500\,\mathrm{VA}$ 、力率は $\cos(\pi/3)=0.50$ 。したがって **P = 250 W**。振幅の積 1000 をそのまま平均電力にしてはいけません。

理想変圧器：電圧を上げると電流が下がる

一次巻数 N₁、二次巻数 N₂ のコイルに共通の時間変化する磁束が鎖交すると、誘導電圧は巻数に比例します。理想変圧器では漏れ磁束・巻線抵抗・鉄損を無視し、励磁電流も無視します。以下の比は実効値の大きさの関係で、瞬時電圧の極性は巻き方と端子の取り方によります。

\frac{V_2}{V_1}=\frac{N_2}{N_1},\qquad \frac{I_2}{I_1}=\frac{N_1}{N_2},\qquad P_1=P_2

I₁ は一次へ供給する電流、I₂ は二次から負荷へ供給する電流の実効値です。理想変圧器では負荷の力率が一次側にも反映され、V₁I₁ = V₂I₂ と有効電力の保存が両立します。電圧を上げても電力が増えるわけではありません。直流定常状態では磁束が変化しないので、この変圧作用は得られません。

送電線の損失は実効電流の二乗に比例する

送電線の往復合計抵抗を r とすると、発熱による損失は I²r です。受電端へ届ける有効電力 P、受電端実効電圧 V、負荷の力率を指定すれば I = P/(V cosφ)。同じ P・力率・r で V を上げると損失は小さくなります。逆に同じ P・V で力率が下がると、必要な電流と送電損失が増えます。

P_{\mathrm{loss}}=I^2r=\frac{P^2r}{V^2\cos^2\phi},\qquad P_{\mathrm{send}}=P+P_{\mathrm{loss}}

送電の比較では線路を抵抗だけで表し、変圧器の損失を無視します。V は受電端の電圧です。送電端の電圧を V と近似するには電圧降下が十分小さいことが必要です。大きな損失があるときに「送電端入力電力 = 負荷電力」と置いてはいけません。

例題2：昇圧と送電損失

力率 1 の負荷に 20 kW を届ける。線路の往復合計抵抗は 2.0 Ω。受電端電圧を (a) 1.0 kV、(b) 10 kV に保つとき、電流と送電損失を比較せよ。さらに (b) の受電端で理想変圧器により 200 V に下げる場合の巻数比 N₁:N₂ と二次電流を求めよ。

解答・解説

(a) $I=20000/1000=20\,\mathrm{A}$ 、損失は $20^2\times2.0=800\,\mathrm{W}$ 。(b) $I=2.0\,\mathrm{A}$ 、損失は **8.0 W** で (a) の 1/100。送電端の有効電力はそれぞれ 20.8 kW、20.008 kW。受電変圧器は $N_1:N_2=10000:200=50:1$ 、二次電流は $20000/200=100\,\mathrm{A}$ です。

練習問題：平均と送電の条件を確認する

実効値 100 V の正弦波交流を 50 Ω の抵抗に加える。電圧の振幅、実効電流、平均電力を求めよ。
ヒント
抵抗では力率 1。振幅は実効値の √2 倍です。
解答・解説
$V_m=100\sqrt2\approx141\,\mathrm{V}$ 、 $I=100/50=2.0\,\mathrm{A}$ 、 $P=VI=200\,\mathrm{W}$ 。 $V^2/R$ でも一致します。
理想変圧器の N₁ = 1200、N₂ = 300。一次実効電圧 240 V、二次側の抵抗負荷の消費電力 180 W のとき、二次電圧、二次電流、一次電流を求めよ。
ヒント
まず巻数比から V₂ を求め、力率 1 と電力保存を使います。
解答・解説
$V_2=240\times300/1200=60\,\mathrm{V}$ 、 $I_2=180/60=3.0\,\mathrm{A}$ 、 $I_1=180/240=0.75\,\mathrm{A}$ 。電圧比 1/4 に対して電流比は 4 です。
受電端の有効電力 8.0 kW、実効電圧 200 V、線路の往復合計抵抗 0.10 Ω を固定する。負荷の力率が 1 から 0.80 に下がると、電流と送電損失はいくらになるか。
ヒント
$I=P/(V\cos\phi)$ 。同じ有効電力でも電流は一定ではありません。
解答・解説
力率 1 では $I=40\,\mathrm{A}$ 、損失 160 W。力率 0.80 では $I=8000/(200\times0.80)=50\,\mathrm{A}$ 、損失 $50^2\times0.10=250\,\mathrm{W}$ 。損失は $1/0.80^2=1.5625$ 倍です。

確認クイズ

問1. 理想コイルだけの負荷に正弦波交流が流れるとき、平均電力がゼロなのはなぜ？

問2. 同じ有効電力・力率・線路抵抗で受電端電圧を 5 倍にすると、送電損失は？

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