粒子性と波動性
光も電子も「粒子」と「波」の両面をもつことを、実験事実から学ぶ。
- 光電効果を光子説で説明し仕事関数の計算ができる
- ドブロイ波長を求めることができる
光電効果と光子
金属に光を当てると電子が飛び出す光電効果。通常の1光子による光電効果では、振動数が限界振動数より低い光は、強くしても電子を放出させられません。アインシュタインは「光はエネルギー の粒（光子）として電子とエネルギーをやりとりする」と説明しました。1個の電子が受け取るエネルギー hν のうち、金属の外へ出るために必要な最小のエネルギー W を仕事関数といいます。
光子の式の λ は真空中の波長です。ν₀ は放出のしきい値、λ₀ は限界波長。ν < ν₀（λ > λ₀）なら電子は出ず、負の運動エネルギーが生じるわけではありません。電子が金属内で失うエネルギーには差があるため、放出電子すべてが Kmax をもつわけでもありません。電子の速さが光速より十分小さいなら Kmax = mvmax²/2 と書けます。
| 入射光を変える操作 | 電子の最大運動エネルギー | 放出される電子の数 |
|---|---|---|
| 振動数一定で光を強くする（しきい値より上） | 変わらない | 通常は単位時間あたりの数が増える |
| 光子1個のエネルギーを大きくする | hν − W に従って増える | 光子数や放出効率にも依存する |
| 限界振動数より低い光を強くする | 放出自体が起こらない | 通常の1光子過程では放出されない |
阻止電圧で最大エネルギーを測る
飛び出した電子を押し戻す向きに電圧をかけ、光電流がちょうど 0 になる電圧の大きさを阻止電圧 Vₛ といいます。最も速い電子も届かなくなる条件は eVₛ = Kmax（e は電気素量）。Vₛ と ν のグラフは傾き h/e、横軸との交点 ν₀ の直線になるので、仕事関数とプランク定数の測定につながります。
物質波
逆に、電子線が結晶で回折・干渉する（デビッション–ガーマーの実験）ことから、粒子にも波動性があることが示されました。ドブロイの式：
物質波の一般式は λ = h/p。電子の速さが光速より十分小さいときだけ p = mv と置けます。静止していた電子を電位差 V で加速すると K = eV = p²/(2m) なので、λ = h/√(2meV)。加速電圧を 4 倍にすると運動量は 2 倍、波長は半分です。光子には静止質量を使った mv を当てはめません。
仕事関数 2.0 eV の金属に、エネルギー 4.0 eV の光子を当てた。飛び出す電子の最大運動エネルギーを求めよ。
解答・解説
**2.0 eV**
仕事関数 2.0 eV の金属に波長 400 nm の光を当てる。hc = 1240 eV·nm として、光子のエネルギー、電子の最大運動エネルギー、阻止電圧を求めよ。
解答・解説
eV。仕事関数より大きいので放出され、 eV。eVₛ = Kmax より阻止電圧は **1.1 V**。eV はエネルギーの単位、V は電圧の単位であり区別する。
仕事関数 2.0 eV の金属の限界波長を求めよ（hc = 1240 eV·nm）。波長 700 nm の光を強くすると電子は出るか。通常の1光子による光電効果を考える。
解答・解説
nm。700 nm は限界波長より長く、1光子のエネルギーは約 1.77 eV なので仕事関数に足りない。強くして光子数を増やしても電子は放出されない。
ある金属に光を当てると阻止電圧が 0.80 V だった。入射光の振動数を 2.0×10¹⁴ Hz 増やすと阻止電圧はいくらか。h/e = 4.14×10⁻¹⁵ V·s とする。
解答・解説
V。新しい阻止電圧は **1.63 V**。同じ金属なので仕事関数は変わらない。
運動量 3.3×10⁻²⁴ kg·m/s の電子のドブロイ波長を求めよ（h = 6.6×10⁻³⁴ J·s）。また非相対論的な範囲で運動エネルギーを 4 倍にすると波長はどうなるか。
解答・解説
m = **0.20 nm**。 より K が 4 倍なら p は 2 倍、波長は半分の **0.10 nm**。