電場と電位の重ね合わせ：2点電荷の符号とゼロ点

電場はベクトル、電位はスカラー。同じ2点電荷でも「ゼロになる場所」が異なる理由を、向きと距離から解き明かす。

この単元の目標

各点電荷がつくる電場の向きを判断し、成分ごとに重ね合わせられる
電位の基準を明示し、電荷の符号を含めた代数和を計算できる
電場と電位がゼロになる条件を区別し、解が属する領域を検証できる

📑 目次

原理：向きを足す電場、符号を足す電位
導出：等しい異符号電荷の中点
ゼロ点は、式より先に領域を判断する

原理：向きを足す電場、符号を足す電位

以下は真空中で固定された点電荷を扱い、観測点は電荷の位置を除きます。定数は $k=1/(4\pi\varepsilon_0)=9.0\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$ と近似。電位は無限遠を $0\,\mathrm V$ とします。電場を調べる試験電荷は、もとの電荷分布を変えないほど小さいと考えます。

\vec E=\sum_i k\frac{Q_i}{r_i^2}\hat r_i,\qquad V=\sum_i k\frac{Q_i}{r_i}

$r_i>0$ は電荷 $Q_i$ から観測点までの距離、 $\hat r_i$ は電荷から観測点へ向く単位ベクトルです。このベクトル式では $Q_i$ の符号を残します。大きさだけの式は $E_i=k|Q_i|/r_i^2$ 。正電荷からは外向き、負電荷へは内向きの矢印を描いてから合成しましょう。

量	足し方	単位
電場	ベクトル和。直交成分ごとに加算する	$\mathrm{N/C}=\mathrm{V/m}$
電位	電荷の符号を含む代数和。距離は常に正	$\mathrm V=\mathrm{J/C}$
試験電荷 q の受ける力	$\vec F=q\vec E$ 。負電荷の力は電場と逆向き	$\mathrm N$

斜めの電場も重ね合わせられます。たとえば $E_x=3.0\,\mathrm{N/C}$ 、 $E_y=4.0\,\mathrm{N/C}$ なら合成電場の大きさは $\sqrt{E_x^2+E_y^2}=5.0\,\mathrm{N/C}$ 。単純に $3+4=7$ としてはいけません。一方、電位には空間的な向きがなく、そのまま符号付きで加算します。

導出：等しい異符号電荷の中点

🔍 中点で V＝0 でも E≠0 となる理由

1：配置と距離
$+Q:\ x=-a,\quad -Q:\ x=a,\quad Q>0,\ a>0$
中点 O は x＝0。両電荷からの距離はともに a。+x 方向を右向きとします。
2：電場の向き
$E_{+,x}=\frac{kQ}{a^2},\qquad E_{-,x}=\frac{kQ}{a^2}$
+Q から離れる向きも、−Q に近づく向きも右向き。電荷の符号が逆でも、ここでの電場の向きは同じです。
3：電場を合成
$\vec E_O=\frac{2kQ}{a^2}\hat x\ne\vec 0$
a の単位は m、Q は C。結果は N/C で、向きは +x です。
4：電位を合成
$V_O=\frac{kQ}{a}+\frac{k(-Q)}{a}=0$
無限遠基準での電位は 0 V。一点で V＝0 という条件は、周囲で V が変化しないという条件ではありません。

ゼロ点は、式より先に領域を判断する

電場がゼロになるには、2本の電場ベクトルが逆向きで同じ大きさでなければなりません。したがって2点電荷の有限距離の電場ゼロ点は連結直線上に限られます。同符号なら両電荷の間、異符号で絶対値が異なるなら小さい電荷の外側です。等しい異符号電荷には、有限距離の電場ゼロ点はありません。

無限遠基準の電位は、同符号の2電荷なら有限距離ではゼロになりません。異符号なら $Q_1/r_1+Q_2/r_2=0$ 、つまり $r_1/r_2=|Q_1|/|Q_2|$ が条件です。等しい異符号電荷なら両電荷から等距離の点、すなわち垂直二等分面全体でゼロです。連結直線に限れば中点だけです。

例題1：同符号で電場が消える点と、その電位

$x=0$ に $+1.0\,\mathrm{nC}$ 、 $x=0.30\,\mathrm m$ に $+4.0\,\mathrm{nC}$ を固定する。電場がゼロになる位置と、その位置の電位を求めよ。 $1\,\mathrm{nC}=10^{-9}\,\mathrm C$ とする。

解答・解説

両電荷の間でのみ電場が逆向き。 $0<x<0.30$ として $k\times10^{-9}/x^2=k\times4.0\times10^{-9}/(0.30-x)^2$ 。距離は正なので $(0.30-x)/x=2$ 、よって $x=0.10\,\mathrm m$ 。この点の電位は $V=9.0/0.10+36/0.20=270\,\mathrm V$ 。電場はゼロでも電位はゼロではありません。

例題2：異符号電荷の電場ゼロ点と電位ゼロ点

$x=0$ に $+1.0\,\mathrm{nC}$ 、 $x=0.30\,\mathrm m$ に $-4.0\,\mathrm{nC}$ を固定する。連結直線上の有限な位置で、(1) 電場がゼロ、(2) 電位がゼロになる位置をすべて求めよ。

解答・解説

(1) 間では同向。小さい電荷の外側 $x=-a<0$ で $1/a^2=4/(a+0.30)^2$ より $a+0.30=2a$ 。したがって $x=-0.30\,\mathrm m$ 。右側では強い負電荷により近いため打ち消せません。(2) $1/|x|=4/|x-0.30|$ 、すなわち $|x-0.30|=4|x|$ 。間では $0.30-x=4x$ より $x=0.060\,\mathrm m$ 、左側では $0.30-x=-4x$ より $x=-0.10\,\mathrm m$ 。右側から得る解は領域を満たさず不適。電場ゼロ点と一致しません。

誤解注意：電荷が逆符号なら電場も必ず逆向き、ではありません。 観測点で矢印を描いて確認します。大きさの等式を立てる前に逆向きか調べ、平方根を取ったら距離の正値条件を使いましょう。

V=0

の場所は電位の基準を変えると変わりますが、

\vec E=0

の場所は変わりません。

E_x=-dV/dx

は電位の値でなく変化率を表します。

練習：向き・距離・符号を確かめる

$x=-1.0\,\mathrm m$ に $+3.0\,\mathrm{\mu C}$ 、 $x=1.0\,\mathrm m$ に $-3.0\,\mathrm{\mu C}$ がある。原点の電場と電位を求めよ。
ヒント
$1\,\mathrm{\mu C}=10^{-6}\,\mathrm C$ 。原点では両電場とも +x 向きです。
解答・解説
各電場の大きさは $9.0\times10^9\times3.0\times10^{-6}/1.0^2=2.7\times10^4\,\mathrm{N/C}$ 。合成は $5.4\times10^4\,\mathrm{N/C}$ 、+x 向き。電位は $2.7\times10^4-2.7\times10^4=0\,\mathrm V$ 。
$x=0$ に $+2Q$ 、 $x=d$ に $+Q$ を置く（ $Q>0,d>0$ ）。電場ゼロ点の位置を d を使って正確に表せ。
ヒント
$0<x<d$ で $2/x^2=1/(d-x)^2$ 。正の平方根を取ります。
解答・解説
$\sqrt2/x=1/(d-x)$ より $x=\sqrt2d/(1+\sqrt2)=(2-\sqrt2)d\simeq0.586d$ 。小さい +Q に近い点です。電荷比 2 を距離比 2 にしてはいけません。
+x 向きに $200\,\mathrm{V/m}$ の一様電場がある。 $x=0$ から $x=0.50\,\mathrm m$ へ $q=-2.0\,\mathrm{\mu C}$ を運ぶ。電位差と電場のする仕事を求めよ。
ヒント
$\Delta V=-E_x\Delta x$ 、電場の仕事は $W=-q\Delta V$ です。
解答・解説
$\Delta V=-200\times0.50=-100\,\mathrm V$ 。 $W=-(-2.0\times10^{-6})(-100)=-2.0\times10^{-4}\,\mathrm J$ 。負電荷には −x 向きの力がはたらくため、+x への移動に対する電場の仕事は負です。

確認クイズ：ゼロの意味

問1. 等しい大きさの異符号2点電荷について、有限距離の電場ゼロ点はどこか。

問2. すべての点の電位に同じ定数 100 V を加えるとどうなるか。

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