電磁誘導① 磁束とファラデーの法則・レンツの法則

面を貫く磁束 Φ = BA cosθ の計算から、鎖交磁束の変化率がつくる誘導起電力、誘導電流の向きの決め方まで。

この単元の目標

面の法線と磁場の角度 θ を使って磁束 Φ = BA cosθ を計算できる
鎖交磁束 NΦ の変化率から誘導起電力 ε = −N dΦ/dt を計算できる
レンツの法則に沿って誘導電流の向きと、コイルが受ける力の向きを定められる

📑 目次

磁束——面を貫く磁場の量
鎖交磁束とファラデーの法則
レンツの法則——誘導電流の向き

磁束——面を貫く磁場の量

磁場の中に面を置いたとき、その面を貫く磁場の量を磁束 Φ（ファイ）といいます。一様な磁場（大きさ B）中の面積 A の平面について、選んだ法線（面に垂直な向き）と磁場がなす角を θ とすると、次式です。磁束は符号をもち、θ > 90° なら負になります。

\Phi = BA\cos\theta

cosθ を掛けるのは、磁場のうち面に垂直な成分 $B\cos\theta$ だけが面を貫くからです。θ = 0°（磁場が面に垂直）で最大、θ = 90°（磁場が面と平行）で 0。磁束の単位は Wb（ウェーバ）で、1 Wb = 1 T·m² です。なお法線の向きは面の両側のどちらにとってもよく、逆向きにとると Φ の符号が変わるだけで、あとで計算する起電力の大きさは変わりません。

参考書によっては Φ = BA sinθ と書いてあるものがあります。これは θ を「磁場と面のなす角」として読み替えた式です。角度の定義が本ごとに違うので、使う前に「角度は法線基準か、面基準か」を必ず確認しましょう。考えることは常に「磁場の面に垂直な成分」です。

鎖交磁束とファラデーの法則

N 巻のコイルの各巻きを貫く磁束がすべて等しく Φ であるとき、コイル全体では NΦ の磁束が鎖のように連なります。これを鎖交磁束といいます。ファラデーの実験によれば、コイルに生じる誘導起電力は鎖交磁束の変化率に比例します。

\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt}

法線の正方向へ右手の親指を向け、指が曲がる向きを回路の正方向とします。負号は磁束の変化を妨げる向きの起電力を表します（レンツの法則）。瞬間の大きさは $|\mathcal{E}| = N|d\Phi/dt|$ 、区間の平均起電力の大きさは $|\overline{\mathcal{E}}| = N|\Delta\Phi/\Delta t|$ 。一定の変化率のときだけ両者は一致します。これは起電力の絶対値を平均した値とは一般に異なります。閉回路の電流の向きを述べる以下の問題では、電池はなく、抵抗が正で、自己誘導を無視します。

🔍 回転コイルの誘導起電力 ε = NBAω sin ωt の導出

Step 1: コイルの向きを角で表す
$\Phi(t) = BA\cos\omega t$
各巻きの面積 A、巻数 N のコイルが一様な磁場 B に垂直な、面内の軸のまわりに一定の角速度 ω で回転します。t = 0 で選んだ法線が磁場と同じ向き。ωt は連続した回転角です。
Step 2: ファラデーの法則に代入する
$\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt} = NBA\omega\sin\omega t$
d(cos ωt)/dt = −ω sin ωt なので、ファラデーの式の負号と打ち消し合って正の sin が残ります。
Step 3: 最大値と波形を読み取る
$\mathcal{E}_{\max} = NBA\omega = 2\pi f NBA$
sin ωt = 1 のとき最大。起電力は時間とともに正弦波状に変わり、これが交流発電機が正弦波交流をつくる原理です。f は1秒あたりの回転数、ω = 2πf です。

レンツの法則——誘導電流の向き

誘導電流は、自分のつくる磁場がもとの磁束の変化を打ち消す向きに流れます。これがレンツの法則で、エネルギー保存の要請から必ずそうなります（もし変化を助ける向きに流れたら、電流が自己増殖してエネルギーを無限に取り出せることになり、保存則に反するため）。向きの決め方は次の4ステップです。

① もとの磁場がコイル面をどちら向きに貫いているかを決める
② その磁束が増えているか減っているか（変化の向き）を確認する
③ 増えていれば逆向きの磁場、減っていれば同じ向きの磁場をつくる電流の向きが答え（右ねじの法則）
④ 磁石とは「近づければ反発、遠ざければ引力」となることも確かめる（相対運動を妨げる向き）

例題1（磁束と平均の起電力）

一辺 10 cm の正方形コイル（100 巻）を、大きさ 0.20 T の一様な磁場の中に法線が磁場と平行になるように置いた。(1) 1 巻きを貫く磁束と鎖交磁束を求めよ。(2) 磁場を 0.10 秒かけて一様に 0 まで減らしたときの誘導起電力の大きさを求めよ。

解答・解説

(1) 法線を磁場と同じ向きに選ぶと、 $A = (0.10)^2 = 1.0 \times 10^{-2}$ m² より $\Phi = BA = 2.0 \times 10^{-3}$ Wb、鎖交磁束は $N\Phi =$ **0.20 Wb**。(2) $|\mathcal{E}| = N\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = 100 \times \dfrac{2.0 \times 10^{-3}}{0.10} =$ **2.0 V**。法線側から見ると、減る正の磁束を補う反時計回りの電流になります。

例題2（角度の変化による磁束の変化）

50 巻、各巻きの面積 2.0×10⁻³ m² のコイルを、大きさ 0.40 T の一様な磁場の中に、面が磁場と平行になるように置いた。0.20 秒かけて回転させ、選んだ法線を磁場と同じ向きにした。この間の平均誘導起電力の大きさを求めよ。

解答・解説

初めは磁場が面と平行なので $\Phi_1 = 0$ 、後は $\Phi_2 = BA = 0.40 \times 2.0 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-4}$ Wb。よって $\mathcal{E} = N(\Phi_2 - \Phi_1)/\Delta t = 50 \times 8.0 \times 10^{-4}/0.20 =$ **0.20 V**

誤解注意：「磁束が大きいほど起電力が大きい」は誤りです。起電力を決めるのは磁束そのものではなく、その変化の速さ dΦ/dt。どんなに磁束が大きくても一定なら起電力は 0、小さくても急に変化すれば大きな起電力が生じます。また磁束の変化は「磁場の強さの変化」「面積の変化」「面の向き（角度）の変化」のいずれによっても起こります。どの要素が変わったのかを毎回見分けるのが解法の出発点です。

練習問題

面積 0.20 m² のループを、大きさ 0.50 T の一様な磁場の中に置いた。面の法線が磁場となす角が 60° のとき、この面を貫く磁束を求めよ。また角が 0°、90° のときの磁束はいくらか。
ヒント
$\Phi = BA\cos\theta$ （θ は法線と磁場のなす角）
解答・解説
$\Phi = 0.50 \times 0.20 \times \cos 60^\circ =$ **0.050 Wb**。θ = 0° なら **0.10 Wb**（最大）、θ = 90° なら **0**。磁場が面と平行だと磁束は 0 になる、が重要です。
200 巻のコイルを貫く鎖交磁束が 0.010 Wb から 0 まで 0.050 秒かけて一様に減少した。誘導起電力の大きさを求めよ。
ヒント
与えられた量は1巻きの磁束ではなく、すでに N 倍された鎖交磁束です。
解答・解説
$|\mathcal{E}| = |\Delta(N\Phi)|/\Delta t = 0.010/0.050 =$ **0.20 V**。ここでさらに200倍すると巻数の二重計上です。
棒磁石の N 極をコイルに近づけるとき、誘導電流は磁石側からコイルの面を見て、時計回りと反時計回りのどちらの向きに流れるか。レンツの法則で説明せよ。
ヒント
近づいてくる磁束を妨げるには、コイルの磁石に近い面が N 極と S 極のどちらになればよいか。
解答・解説
近づくことで増える磁束を打ち消すには、コイルの磁石に近い面が **N 極**になればよい（反発する向き）。面の外側へ磁場を出す電流は、その面を見て**反時計回り**に流れます。逆に N 極を遠ざけるときは S 極をつくる向き（磁石側から見て時計回り）に流れ、引き合います。

確認クイズ

問1. 一様な磁場の中で、コイルの面を磁場と平行に保ったまま、面に沿って動かした。コイルに生じる誘導起電力は？

問2. N = 50 巻のコイルの各巻きを貫く磁束が 0.10 秒間にそれぞれ 0.060 Wb だけ一様に減った。誘導起電力の大きさは？

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