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磁場から受ける力——電流にはたらく力とローレンツ力

フレミングの左手の法則とローレンツ力、負電荷の扱い、磁場中の円運動・らせん運動、速度選別器を学ぶ。

この単元の目標
  • 電流にはたらく力 F = BIL sinθ と磁気力の大きさ F = |q|vB sinθ を向き込みで計算できる
  • 負電荷では力の向きが反転することを説明できる
  • 磁場中の円運動の半径・周期を導き、速度選別器の条件を求められる
📑 目次
  1. 電流にはたらく力
  2. ローレンツ力——動く電荷にはたらく力
  3. 磁場中の円運動とらせん運動
  4. 速度選別器

電流にはたらく力

F=BILsin⁡θF = BIL\sin\theta

一様な外部磁場中にある長さ L の直線導線に、電流 I が流れるときの力の大きさです。L は磁場内の導線の長さで、導線自身のつくる磁場をこの B に入れません。θ は電流の向きと磁場の向きの間の角。θ = 90°（垂直）のとき最大 F=BILF = BIL、θ = 0° または 180°（平行・反平行）のとき力は 0 です。向きはフレミングの左手の法則：左手の人差し指＝磁場 B、中指＝電流 I、親指＝力 F の向き。単位は B [T] × I [A] × L [m] = N。導線の電流の向きは電子の移動方向とは逆ですが、通常の電流の向きを使えば反転操作は不要です。

紙面の約束を再確認します。紙面右を +x、上を +y、手前を +z。たとえば紙面内を +x 向きに流れる電流が、紙面に垂直で奥向き（−z）の磁場を受けるとき、左手を組み替えると力は +y（紙面上向き）になります。手順：人差し指を奥（−z）に向け、中指を右（+x）に向けると、親指は自然に上（+y）を指します。

導線にはたらく力の大きさと向き

大きさ 0.50 T の一様磁場が紙面に垂直で手前向き（+z）にある。長さ 0.20 m の直線導体を紙面内で +x 方向に 2.0 A の電流を流した。導体にはたらく力の大きさと向きを求めよ。

解答・解説

電流と磁場は垂直なので F=BIL=0.50×2.0×0.20=0.20F = BIL = 0.50\times2.0\times0.20 = 0.20 N。向きは左手の人差し指を手前（+z）、中指を右（+x）に向けると親指は**下（−y）**を指す。検算：電流ベクトルが +x、磁場が +z のとき F⃗=IL⃗×B⃗\vec{F} = I\vec{L}\times\vec{B} は x^×z^=−y^\hat{x}\times\hat{z} = -\hat{y} で一致します。

ローレンツ力——動く電荷にはたらく力

F=∣q∣vBsin⁡θ,F⃗mag=qv⃗×B⃗F = |q|vB\sin\theta, \qquad \vec{F}_{\mathrm{mag}} = q\vec{v}\times\vec{B}

速さ v で動く電荷 q が磁場中で受ける力がローレンツ力です。θ は速度と磁場の間の角で、速度が磁場に平行なら力は 0。向きの決め方は電流と同じ左手の法則で、正電荷の進む向きを電流の向きとみなします。負電荷（電子など）では力の向きが正電荷とちょうど反対になるので注意。

よくある誤解：① ローレンツ力は常に速度に垂直なので、仕事をせず速さを変えない（向きだけ変える）。② 磁場中に置かれた静止電荷には力ははたらかない（v = 0）。③ 負電荷では左手の法則の向きを反転させるのを忘れやすい。④ 電場の力 qE とは違い、磁場だけでは速さを増減できません。

磁場中の円運動とらせん運動

以下は質量 m [kg]、電荷 q [C] の粒子が一様で時間変化しない磁場 B [T] のみを受ける場合です。電場・重力・衝突・放射の影響を無視し、速さ v [m/s] は光速より十分小さいとします。r の単位は m、周期 T の単位は s。q は符号付きですが、半径・周期・力の大きさには |q| を使います。ローレンツ力を電気力も含めて呼ぶ場合は F⃗=q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}) です。
r=mv⊥∣q∣B,T=2πm∣q∣B,h=∣v∥∣Tr = \frac{mv_\perp}{|q|B}, \qquad T = \frac{2\pi m}{|q|B}, \qquad h = |v_\parallel|T

🔍 円運動の半径と周期の導出

  1. Step 1: 力が常に速度に垂直であることを使う
    ∣q∣vB=mv2r|q| v B = \frac{m v^2}{r}

    磁場に垂直に入った電荷は、ローレンツ力を向心力として等速円運動をします。速さ v は一定のまま向きだけが変わります。

  2. Step 2: 半径を解く
    r=mv∣q∣Br = \frac{mv}{|q|B}

    速さが大きいほど、質量が大きいほど、磁場が弱いほど大きい円を描きます。

  3. Step 3: 周期を出す
    T=2πrv=2πm∣q∣BT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{|q|B}

    v が消えて周期は速さによらない。速い粒子は大きな円を、遅い粒子は小さな円を描きますが、1周の時間は同じです。サイクロトロンが加速できる理由です。

  4. Step 4: 速度に平行な成分があるとき
    r=mv⊥∣q∣B,h=∣v∥∣Tr=\frac{mv_\perp}{|q|B}, \qquad h=|v_\parallel|T

    速度の垂直成分 v⊥ は円運動を、平行成分 v∥ は等速直線運動をつくります。両成分があればらせん運動となり、1周で軸方向に進む距離 h [m] がピッチです。平行成分だけなら直線運動で、円運動の周期は定義しません。

電子の円運動

電子（質量 9.1×10⁻³¹ kg、電荷 −1.6×10⁻¹⁹ C）が、+z（手前）向きの一様磁場 0.010 T 中へ +x（右）向きに速さ 3.0×10⁶ m/s で入った。磁気力だけを受けるとして円運動の半径・周期と、入った瞬間の力の向きを求めよ。

解答・解説

半径は r=mv∣q∣B=9.1×10−31×3.0×1061.6×10−19×0.010≈1.7×10−3r = \frac{mv}{|q|B} = \frac{9.1\times10^{-31}\times3.0\times10^6}{1.6\times10^{-19}\times0.010} \approx 1.7\times10^{-3} m。周期は T=2π×9.1×10−311.6×10−19×0.010≈3.6×10−9T = \frac{2\pi\times9.1\times10^{-31}}{1.6\times10^{-19}\times0.010} \approx 3.6\times10^{-9} s。正電荷なら +x × +z = −y ですが、電子は負電荷なので力は **+y（上）向き**。軌道は手前から見て反時計回りになります。もし同時に +z 向き 1.0×10⁶ m/s の速度成分もあれば、半径と周期は変わらず、ピッチ h=1.0×106×3.6×10−9=3.6×10−3h=1.0\times10^6\times3.6\times10^{-9}=3.6\times10^{-3} m のらせんになります。

速度選別器

電場 E と磁場 B を直交させて重ね、粒子の速度を両方に垂直にして、電気力と磁気力が逆向きになる配置を選びます。∣q∣E=∣q∣vB|q|E = |q|vB つまり v = E/B を満たす速さの荷電粒子だけが合力 0 でまっすぐ進みます。それ以外の速さでは曲がることを利用して、出口の狭いスリットで選別するのが速度選別器です。中性粒子は対象外で、入射方向を固定すれば電荷の大きさ・符号によらず同じ速さを選べます。

配置を固定しましょう。一様電場 E = 2.0×10⁵ V/m を +y（上）向き、一様磁場 B = 0.40 T を +z（手前）向きとし、粒子を +x（右）向きに入れます。正電荷への電気力は +y、磁気力は −y で、合力の y 成分は Fy=q(E−vB)F_y=q(E-vB)。v=E/B=5.0×105v=E/B=5.0\times10^5 m/s なら直進します。負電荷は両方の力が反転して同じ速さで直進します。E/B の単位は (N/C)/(N·s/(C·m)) = m/s。電場・磁場・入射速度は互いに垂直とし、重力や端の場を無視します。

練習問題

  1. B = 0.20 T の磁場中で、長さ 0.50 m の導線に磁場と垂直な方向へ 3.0 A の電流を流した。力の大きさを求めよ。

    ヒント

    F=BILsin⁡θF = BIL\sin\theta

    解答・解説

    F=0.20×3.0×0.50=0.30F = 0.20\times3.0\times0.50 = 0.30 N（θ = 90° なので sinθ = 1）

  2. プロトン（質量 1.67×10⁻²⁷ kg、電荷 +e = 1.6×10⁻¹⁹ C）が磁場 0.50 T に垂直な速さ 2.0×10⁶ m/s で入った。円運動の半径を求めよ。

    ヒント

    r=mv/(qB)r = mv/(qB)

    解答・解説

    r=1.67×10−27×2.0×1061.6×10−19×0.50=3.34×10−218.0×10−20≈4.2×10−2r = \frac{1.67\times10^{-27}\times2.0\times10^6}{1.6\times10^{-19}\times0.50} = \frac{3.34\times10^{-21}}{8.0\times10^{-20}} \approx 4.2\times10^{-2} m

  3. 電子（負電荷）が紙面内を右向き（+x）に進み、磁場が紙面に垂直で奥向き（−z）のとき、ローレンツ力の向きを答えよ。

    ヒント

    左手の法則は正電荷の進行方向を電流とみなす。電子なら反転。

    解答・解説

    正電荷なら人差し指 −z・中指 +x で親指は +y（上）。電子は負なので**逆向きの −y（紙面下向き）**。

確認クイズ（磁場から受ける力）

問1. 磁場中で等速円運動している電荷の速さは、1周するあいだにどうなるか。

問2. 速度選別器をまっすぐ通過できる速さは？

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