キルヒホッフの法則：向きを決めて回路を解く

節点での電荷保存と閉路での電位差の和を使い、複数の枝の電流を符号付きで求める。

この単元の目標

枝電流の正方向を仮定し、節点の電流保存式を立てられる
閉路をたどる向きと電池の極性から電位変化の符号を決められる
連立方程式を解き、負の電流が実際に流れる向きを説明できる

回路を読む準備：節点・枝・閉路

ここでは時間的に変化しない直流の定常状態を扱い、導線の抵抗と外部からの電磁誘導は無視します。同じ導線だけでつながる点は同電位の「節点」、節点間の一本道が「枝」です。まず各枝に電流の矢印を仮定します。これは未知量の正方向を定義するだけなので、最初から実際の向きを当てる必要はありません。電流は正電荷の移動方向を基準とし、電子の移動方向とは区別します。

二つの保存則と符号の規約

\sum I_{\mathrm{in}}=\sum I_{\mathrm{out}}, \qquad \sum_{\text{閉路}}\Delta V=0

節点に電荷がたまり続けないため、流入電流の和と流出電流の和は等しくなります。また一周して同じ点に戻れば電位も元に戻るので、閉路の電位変化の総和は 0 です。閉路をたどる向きは、電流の仮定方向と独立に選べます。

通過する素子	たどる向き	電位変化
抵抗 R	仮定した電流 I と同じ向き	$-RI$
抵抗 R	仮定した電流 I と逆の向き	$+RI$
理想電池（起電力 E）	負極から正極	$+E$
理想電池（起電力 E）	正極から負極	$-E$

抵抗での符号は「仮定した電流」に対して決め、解く途中で変えません。電池の符号は極性だけで決まり、電流方向には依存しません。未知電流の数に見合う独立な式を選びます。同じ式を変形しただけの閉路を追加しても情報は増えません。

🔍 3本の枝から節点式1本・閉路式2本を作る

1．接続と未知電流を定義する
$I_1: B\to A, \qquad I_2,I_3: A\to B$
A・B 間に3枝だけを置く。枝1は B→理想電池（負極が B、正極が C）→C→抵抗 R₁→A。枝2は A→抵抗 R₂→B、枝3は A→抵抗 R₃→B。C は枝1の途中の接続点で、他の枝にはつながらない。
2．節点 A の電荷保存
$I_1-I_2-I_3=0$
A に入る枝1の電流が、枝2と枝3へ分かれる。節点 B の式はこれと同じ情報になる。
3．枝1を B→A、枝2を A→B とたどる
$E-R_1I_1-R_2I_2=0$
電池で上昇し、二つの抵抗ではそれぞれ仮定電流と同方向に進むので下降する。
4．枝1を B→A、枝3を A→B とたどる
$E-R_1I_1-R_3I_3=0 \quad\Rightarrow\quad R_2I_2=R_3I_3=V_A-V_B$
三つの式で三つの未知数を解く。枝2と枝3は両端が共通なので電圧が等しく、電流は抵抗に反比例することも確認できる。

例題1：電源のある枝と二つの抵抗枝

導出と同じ接続で E = 9 V、R₁ = 1 Ω、R₂ = 6 Ω、R₃ = 3 Ω とする。I₁ は枝1を B→A、I₂・I₃ はそれぞれ枝2・枝3を A→B とする。各電流と A の B に対する電位を求めよ。

解答・解説

節点式は $I_1=I_2+I_3$ 、閉路式は $9-I_1-6I_2=0$ と $9-I_1-3I_3=0$ 。後二式の差より $6I_2=3I_3$ 、したがって $I_3=2I_2$ 、 $I_1=3I_2$ 。代入すると $9-9I_2=0$ なので **I₁ = 3 A、I₂ = 1 A、I₃ = 2 A**。すべて正なので仮定どおりの向き。 $V_A-V_B=6I_2=6$ V。検算すると節点で $3=1+2$ 、両閉路で $9-3-6=0$ となる。

例題2：負の電流を読み取る

A・B 間に次の3枝だけがある。枝1は B→理想電池10 V（負極 B、正極 C₁）→C₁→2 Ω→A。枝2は B→理想電池2 V（負極 B、正極 C₂）→C₂→2 Ω→A。枝3は A→2 Ω→B。C₁・C₂ は各枝の途中だけの接続点で互いに接続しない。I₁・I₂ を各電源枝の B→A、I₃ を枝3の A→B と仮定して解け。

解答・解説

節点 A で $I_1+I_2=I_3$ 。枝1で B→A、枝3で A→B と一周すると $10-2I_1-2I_3=0$ 。枝2と枝3の一周では $2-2I_2-2I_3=0$ 。よって $I_1=5-I_3$ 、 $I_2=1-I_3$ 、節点式へ代入して $6-2I_3=I_3$ 。したがって **I₁ = 3 A、I₂ = −1 A、I₃ = 2 A**。枝2では実際には **A→B に 1 A** 流れる。 $V_A-V_B=4$ V で、枝2でも $2-2(-1)=4$ V と一致する。10 V の電源が供給する 30 W は、抵抗での $2(3^2+1^2+2^2)=28$ W と、2 V の理想電源が吸収する 2 W に分かれる。これは理想回路の計算であり、実物の電池をこのように接続する指示ではない。

負の解は「電流が存在しない」「抵抗が負」という意味ではなく、実際の向きが定義した正方向と逆という意味です。負の値のまま元の式に代入して検算してください。向きだけ反転して数値にも負号を付けると二重に反転します。抵抗の発熱

I^2R

は、電流が負でも正です。

練習：向きの定義から答えまで

節点 A に、枝 p から 2.0 A が入り、枝 q へ 0.5 A が出る。残りの枝 s の電流 I を「A へ入る向き」を正として定義する。I と実際の流れる向きを求めよ。
ヒント
流入を正、流出を負として $2.0+I-0.5=0$ と置く。
解答・解説
$I=0.5-2.0=-1.5$ A。したがって枝 s では **A から出る向きに 1.5 A**。実際の流入 2.0 A と流出 $0.5+1.5=2.0$ A が一致する。
分岐のない一周を、A→理想電池8 V（負極 A、正極 B）→B→3 Ω→C→1 Ω→A の順に接続する。電流 I は A→電池→B→C→A を正とする。閉路式から I と $V_B-V_C$ を求めよ。
ヒント
A から電流の正方向へ一周し、電池での上昇と抵抗での下降を足す。
解答・解説
$8-3I-I=0$ より **I = 2 A**。B→C は電流と同方向なので $V_C-V_B=-3I=-6$ V、よって ** $V_B-V_C=6$ V**。残りの 1 Ω での降下 2 V と合わせて 8 V になる。
A・B 間に3枝だけを置く。枝1は B→理想電池8 V（負極 B、正極 C₁）→C₁→2 Ω→A、枝2は B→理想電池4 V（負極 B、正極 C₂）→C₂→2 Ω→A、枝3は A→2 Ω→B。C₁・C₂ に他の接続はない。I₁・I₂ は B→A、I₃ は A→B を正とする。全電流を求めよ。
ヒント
$I_1+I_2=I_3$ 、 $8-2I_1-2I_3=0$ 、 $4-2I_2-2I_3=0$ 。
解答・解説
$I_1=4-I_3$ 、 $I_2=2-I_3$ より $6-2I_3=I_3$ 。**I₁ = 2 A、I₂ = 0 A、I₃ = 2 A**。A・B 間は 4 V で枝2の起電力と等しく、その枝の抵抗には電位差がない。電池があっても、その枝の電流が必ず非零になるわけではない。

確認クイズ：符号を説明できるか

問1. I を A→B と定義して I = −0.40 A を得た。正しい解釈は？

問2. 電流 I の正方向と逆に抵抗 R を通過して閉路式を書くとき、電位変化は？

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