力学的エネルギー保存の応用——単振り子とばねの複合問題

単振り子・ばね振り子・複合系を力学的エネルギー保存で一気に解く。基準面のとり方と「保存区間」の切り分けが鍵。

この単元の目標

単振り子の運動を力学的エネルギー保存で解析できる
ばねの伸びとつり合い位置からの変位を区別し、重力とばねの位置エネルギーの和を扱える
複合問題を「エネルギーの出入り」で整理して解ける

📑 目次

単振り子のエネルギー収支
ばね振り子：伸びと変位を区別する
複合問題への応用

単振り子のエネルギー収支

ここでは支点を固定し、質量も伸びも無視できる糸と小さなおもりを考え、空気抵抗や支点の摩擦を無視します。糸が張ったままなら張力は瞬間の運動方向と直交し、仕事をしません。重力だけが仕事をするため、この理想モデルで力学的エネルギーが保存します。静かに放して往復する運動では、最低点で速さ最大、折り返し点で一瞬停止します。エネルギー保存で速さを求め、円運動の運動方程式を併用すると張力も求められます。

以下の θ は、鉛直下向きから測った放す位置の角度（0° ≤ θ ≤ 90°）です。静かに放し、糸がたるまない範囲を扱います。このエネルギー計算に小角近似は不要です。一方、周期の公式

2\pi\sqrt{l/g}

は振れ角が小さい場合の近似であり、大振幅でも厳密に同じ周期になるわけではありません。

\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{一定}

🔍 最低点の速さ v = √(2gl(1 − cosθ)) の導出

Step 1: 基準面を決めて位置エネルギーを書く
$h = l(1 - \cos\theta)$
最低点を基準にとると、振れ角 θ での高さは糸長 l を使って l − l·cosθ と幾何から出ます。
Step 2: エネルギー保存を立てる
$\frac{1}{2}mv^2 = mg\,l(1 - \cos\theta)$
最高点では静止しているので運動エネルギーは 0。落ちたぶんの位置エネルギーがすべて運動エネルギーへ移ります。
Step 3: 解いて形を見る
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos\theta)}$
質量 m が消える——落下と同じです。θ = 90° を入れると v = √(2gl) となり、高さ l の自由落下と一致する確認ができます。
Step 4: 張力も出しておく
$T - mg = \frac{mv^2}{l} \quad\Rightarrow\quad T = mg(3 - 2\cos\theta)$
最低点では円運動の向心力の式も使う。θ = 60° で離せば T = 2mg、水平位置（θ = 90°）から離せば T = 3mg——静かに吊ったとき（T = mg）の 3 倍もの張力がかかります。ただし小振動（θ ≪ 1）では T ≈ mg に戻ることも確認しておきましょう。

ばね振り子：伸びと変位を区別する

上端を固定した質量の無視できるばねに、おもりを取り付けて鉛直方向だけに動かします。空気抵抗を無視し、運動範囲全体でフックの法則が成り立つとします。自然長から下向きの伸びを s、つり合いでの伸びを $s_0 = mg/k$ 、つり合い位置から下向きの変位を $x = s-s_0$ とおきます。ばね自身の弾性エネルギーは常に $\tfrac{1}{2}ks^2$です。つり合い位置を使って簡単になるのは、重力とばねの位置エネルギーの「和」であり、重力そのものが消えるわけではありません。

座標	ばねの弾性エネルギー	重力の位置エネルギー	両者の和
自然長から下向き s（重力の基準も自然長位置）	$\tfrac{1}{2}ks^2$	$-mgs$	$\tfrac{1}{2}ks^2-mgs$
つり合いから下向き x（重力の基準もつり合い位置）	$\tfrac{1}{2}k(s_0+x)^2$	$-mgx$	$\tfrac{1}{2}kx^2+\tfrac{1}{2}ks_0^2$

二つの行は重力の位置エネルギーのゼロ点が異なりますが、差は定数だけで運動には影響しません。つり合い座標では一次の項

(ks_0-mg)x

が消えます。定数を省けば

\tfrac{1}{2}mv^2+\tfrac{1}{2}kx^2

が一定。自然長から放す問題では最初に x = −s₀ と読み替えるのがコツです。

例題

ばね定数 k のばねの下端に質量 m のおもりをつけてつり合わせた。おもりをさらに下方に d 離して静かに放したときの最大の速さを求めよ。ばねは全運動範囲でフックの法則に従うものとする。

解答・解説

放した瞬間は x = d、速さ 0。定数項を省いたエネルギー保存は $\tfrac{1}{2}mv^2+\tfrac{1}{2}kx^2=\tfrac{1}{2}kd^2$ 。位置エネルギーの和が最小になる x = 0（つり合い位置）で速さ最大だから、 $\tfrac{1}{2}mv_{\max}^2=\tfrac{1}{2}kd^2$ より ** $v_{\max}=d\sqrt{k/m}$ **。自然長を通過するときではない点に注意。

複合問題への応用

複合問題では、どこからどこまでがエネルギー保存区間かを分けます。衝突中に系全体へはたらく外力の力積が無視できる方向では、運動量が保存します。これは「衝突なら無条件に保存」という意味ではありません。衝突後の速度を決めるには、反発係数や「一体になる」などの条件も必要です。完全弾性衝突なら運動エネルギーも保存しますが、非弾性衝突では一般に保存しません。

手順①: 対象とする系・座標・位置エネルギーの基準を決める
手順②: 衝突では外力の力積を確認し、運動量保存と衝突条件を使う
手順③: 抵抗などが仕事をしない区間は $K_1+U_1=K_2+U_2$ 、抵抗がある区間はその仕事を収支に入れる
手順④: 答えの極限ケース（d → 0 など）で妥当かチェックする

例題：斜面から水平なばねへ

質量 0.50 kg の小物体を、水平面から高さ 0.40 m の滑らかな斜面上で静かに放した。滑らかにつながる水平面で、一端を壁に固定した自然長の軽いばね（k = 100 N/m）を押し縮める。最大縮み量を求めよ（g = 10 m/s²）。摩擦・衝突損失・回転はなく、ばねはフックの法則に従う。

解答・解説

初めと最大圧縮時はともに速さ 0。水平面を高さの基準にすると $mgh=\tfrac{1}{2}ka^2$ 。したがって $a=\sqrt{2mgh/k}=\sqrt{0.040}=$ **0.20 m**。途中での速さや時間は求めなくてもよい。斜面上でばねを縮める場合には圧縮中も高さが変わるため、その分の重力の位置エネルギーも含めます。

練習問題

長さ 0.80 m の単振り子を振れ角 30° まで引き上げて静かに放した。最低点の通過時の速さを求めよ（g = 9.8 m/s²）。
ヒント
$v = \sqrt{2gl(1-\cos\theta)}$ 、cos 30° ≈ 0.866
解答・解説
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.80 \times (1 - 0.866)} = \sqrt{2.10} \approx$ **1.45 m/s**。
長さ l の単振り子のおもりを振れ角 60° まで引き上げて静かに放した。最低点における糸の張力は、おもりを鉛直方向に静止して吊ったときの何倍か。
ヒント
最低点の張力は $T = mg(3 - 2\cos\theta)$ 、静止して吊ったときは $T_0 = mg$
解答・解説
$\cos 60° = 0.5$ より $T = mg(3 - 1) = 2mg$ 。静止時 $T_0 = mg$ との比は **2 倍**（水平位置から離すと $T = 3mg$ で 3 倍になる）。
ばね定数 200 N/m のばねの下端に質量 0.50 kg のおもりをつけ、つり合い位置からさらに 0.010 m 下げて静かに放した。おもりの最大の速さを求めよ（g = 10 m/s²）。
ヒント
最大速度はつり合い位置。 $\omega = \sqrt{k/m}$
解答・解説
$v_{\max} = d\sqrt{k/m} = 0.010 \times \sqrt{200/0.50} = 0.010 \times 20 =$ **0.20 m/s**。つり合いの伸びは $s_0=mg/k=0.025$ m なので、最も上でも伸びは $0.025-0.010=0.015$ m。運動中ずっと伸びた状態であり、引く力だけを出すばねとしても扱えます。
下端を固定し、鉛直方向にだけ縮むよう案内した軽いばね（k = 100 N/m）が自然長にある。質量 0.10 kg の球を、その上端の真上 0.20 m から静かに落とした。最大縮み量を求めよ（g = 10 m/s²）。空気抵抗・摩擦・接触時のエネルギー損失はなく、球は圧縮中ばねから離れず、ばねはフックの法則に従う。
ヒント
いちばん下まで沈んだ瞬間は速さ 0。初めと最後の 2 状態だけでエネルギー保存を立てる
解答・解説
縮み量を x とすると、球は $0.20 + x$ だけ降りるので $mg(0.20 + x) = \tfrac{1}{2}kx^2$ 。 $1.0(0.20 + x) = 50x^2$ より $50x^2 - x - 0.2 = 0$ 、解の公式から $x = \dfrac{1 + \sqrt{41}}{100} \approx$ **0.074 m（約 7.4 cm）**（負の解は棄却）。

確認クイズ（エネルギー保存の応用）

問1. 単振り子の糸の張力が仕事をしない理由は？

問2. ばねにおもりをつる系の振動を扱うとき、位置エネルギーの基準はどこが便利か。

問3. 最下点の振り子のおもりが別の小球と水平に正面衝突する。衝突中の外力の水平力積が無視でき、完全弾性衝突のとき、両者の衝突後の水平速度を求めるために使う組合せは？

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