行列と固有値問題

連立一次方程式の解法から固有値・対角化まで。

この単元の目標

掃き出し法で連立一次方程式を解ける
固有値・固有ベクトルを求め、対角化できる

📑 目次

連立一次方程式と掃き出し法
行列式
固有値・固有ベクトルと対角化

連立一次方程式と掃き出し法

拡大係数行列に行基本変形（行の非零定数倍・行の入れ替え・他の行の定数倍の加算）を繰り返して階段形にするのがガウスの消去法。零倍は元の情報を失うので使えません。 $0=1$ のような矛盾行があれば不能、矛盾がなく自由変数があれば不定、自由変数がなければ一意解です。以下の行列式と固有値では $A$ を $n$ 次正方行列とします。

行列式

\det A \neq 0 \iff A \text{ は正則（逆行列をもつ）} \iff Ax = 0 \text{ は自明解のみ}

固有値・固有ベクトルと対角化

\exists v \ne 0:\ Av = \lambda v \iff \det(A - \lambda I) = 0

n 個の独立な固有ベクトルがとれると $A = PDP^{-1}$ （対角化）。冪の計算 $A^k = PD^kP^{-1}$ や、連立微分方程式・マルコフ連鎖の定常状態に応用されます。

例題

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値を求めよ。

解答・解説

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)^2 - 1 = 0$ より ** $\lambda = 1, 3$ **

🔍 固有ベクトルを並べるとなぜ対角化できるのか

独立な固有ベクトルを列に並べる
$P=(v_1\ \cdots\ v_n),\quad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$
各 $v_i$ は零ベクトルでなく、 $Av_i=\lambda_i v_i$ を満たします。独立性により $P$ は逆行列をもちます。
列ごとに掛け算を比べる
$AP=(Av_1\ \cdots\ Av_n)=(\lambda_1v_1\ \cdots\ \lambda_nv_n)=PD$
右から対角行列を掛けると、各列が対応する対角成分倍になります。
基底変換として読み取る
$P^{-1}AP=D,\qquad A=PDP^{-1}$
固有ベクトルを座標軸に選べば、変換は各軸方向の定数倍だけになります。重複固有値があっても、独立な固有ベクトルが n 本あれば対角化できます。

練習問題

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルをすべて求めよ。
ヒント
固有方程式は $\lambda^2 - (\text{トレース})\lambda + \det A = 0$ 。トレース 7、行列式 10。
解答・解説
$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$ より $\lambda = 5, 2$ 。 $\lambda = 5$ ： $(A - 5I)v = 0$ は $-v_1 + v_2 = 0$ なので $v = t(1, 1)^T$ 。 $\lambda = 2$ ： $2v_1 + v_2 = 0$ なので $v = t(1, -2)^T$ 。いずれも $t\ne0$ 。**固有ベクトルはそれぞれ $(1, 1)^T$ , $(1, -2)^T$ の非零定数倍**
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は対角化できるか。理由つきで答えよ。
ヒント
固有値が重複したときは、独立な固有ベクトルがいくつ取れるかを見る。
解答・解説
固有方程式は $(1-\lambda)^2 = 0$ で重解 $\lambda = 1$ 。しかし $(A - I)v = 0$ は $v_2 = 0$ しか課さず、独立な固有ベクトルは $(1, 0)^T$ の 1 本しかない。**独立な固有ベクトルが n 本そろわないので対角化不能**（ジョルダン標準形が必要になる典型例）
掃き出し法で $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$ を解け。
ヒント
1 行目を基準に 2 行目から x を消す。
解答・解説
1 行目の 3 倍を 2 行目から引くと $-2y = -9$ 、よって $y = 9/2$ 、 $x = 5 - 2 \cdot 9/2 = -4$ 。** $(x, y) = (-4, 9/2)$ **。係数行列の行列式 $1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \neq 0$ なので解が一意に存在することとも整合する

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