大学数学（教養）
線形代数・解析・確率統計・微分方程式・複素関数・ベクトル解析の入門。高校数学III・Cからの接続を意識した、理工系・経済学系で最初に学ぶ範囲。
線形代数
学習指導要領: 行列と連立一次方程式、行列式、ベクトル空間、固有値・固有ベクトル
解析（微積分）
学習指導要領: 極限と連続性、微分法の応用（テイラー展開）、積分法の応用、偏微分
微分方程式とフーリエ解析
学習指導要領: 常微分方程式の解法、フーリエ級数・フーリエ変換、信号処理への応用
確率・統計の基礎
学習指導要領: 確率変数と分布、期待値・分散、正規分布と中心極限定理、データのモデル化
複素関数とベクトル解析
学習指導要領: 複素数の極形式、正則関数、勾配・発散・回転、ガウスの発散定理
テーマ別学習・演習
学習指導要領: 関連分野の補充・発展学習。各記事に前提と適用範囲を明記。
- グラフの次数・握手補題・木・オイラー路有限の無向グラフを辺の一覧で表し、次数の二重数え上げから木の辺数と一筆書きの条件へ進む。小さなグラフで、存在条件の確認と具体的な構成を区別する。
- 方程式の数値解法 — 二分法とNewton法の保証根を挟む二分法と接線を使うNewton法を具体計算で比較し、収束条件、停止判定、残差と誤差の違いを学びます。
- ベータ二項モデル——事前・事後・予測分布を区別する架空のコインの表確率を、ベータ分布と二項尤度で更新する。未知確率についての分布と将来の回数についての分布を分け、ベイズ信用区間と頻度論の信頼区間が答える問いの違いを学ぶ。
- 最小二乗法と射影 — 残差から直線当てはめとQRへ観測値を列空間へ近づけるという見方から、正規方程式の必要十分性、中心化した直線当てはめ、係数の一意性、QRによる解法を一つのデータでつなぎます。
- 確率密度の変数変換：確率保存からヤコビアンへ変換で保存されるのは密度の高さでなく区間の確率。分布関数法から単調変換を導き、非単調な二乗変換の枝と台、二変数のヤコビアンまでつなぐ。