ベクトル解析——流れを読む演算子

grad・div・rot で場の空間構造を捉え、積分定理で体積計算を面積計算へ落とす。

この単元の目標

演算子	定義	意味
勾配 grad f	$\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$	最も急な増加方向のベクトル
発散 div F	$\nabla \cdot \vec{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z$	湧き出しの強さ（源か吸込みか）
回転 rot F	$\nabla \times \vec{F}$	渦の強さ（回転成分）

マクスウェル方程式や流体力学はすべてこの言語で書かれます。たとえば「電荷がない場所では $\nabla \cdot \vec E = 0$ 」＝電場の湧き出しがない、という文です。

\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F})\,dV = \oint_{\partial V} \vec{F} \cdot d\vec{S} \quad (\text{ガウスの発散定理})

「内部の湧き出しの総量＝境界から出ていく流量」。3次元の体積計算を表面の計算に置き換えられます。ストークスの定理はその回転版です。

例題

$\vec{F} = (x, y, z)$ に対し $\nabla \cdot \vec{F}$ を求めよ。

解答・解説

$1 + 1 + 1 =$ **3**。原点から放射状に広がる場で、どこでも一定の湧き出しがある。

練習問題

$f(x,y,z) = x^2 y$ の勾配を求めよ。
解答・解説
$\nabla f = (2xy, x^2, 0)$
二階偏導関数が連続なスカラー場について $\nabla \times (\nabla f) = \vec{0}$ を示せ。
ヒント
偏微分の順序交換（混合二次微分は等しい）。
解答・解説
各成分が $\partial_y \partial_z f - \partial_z \partial_y f = 0$ などとなりゼロ。これは**勾配場は渦なし**という向きの証明です。逆向きに大域的ポテンシャルの存在を示すには、領域の単連結性などが必要です。
$\vec{F} = (-y, x, 0)$ の rot を求めよ。
解答・解説
$(0, 0, \partial_x x - \partial_y(-y)) = (0,0,2)$ ——原点周りの剛体回転に対応。

確認クイズ（ベクトル解析）

問1. div F > 0 となる点には何があるか。

問2. ガウスの発散定理の利点は？

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