ホーム › 大学数学（教養） › 複素関数——正則性とコーシー＝リーマン この単元の目標 極形式で複素数を扱える コーシー＝リーマンの関係式を確認できる 正則関数が無限回微分可能であることを説明できる 📑 目次 複素数の極形式 正則性 なぜ強力か 複素数の極形式 掛け算 ＝絶対値の積・偏角の和（z 1 z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)} z 1 z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) ド・モアブル : ( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta ( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ e i θ e^{i\theta} e i θ e i π + 1 = 0 e^{i\pi} + 1 = 0 e iπ + 1 = 0 正則性 複素関数 f ( z ) f(z) f ( z ) コーシー＝リーマン方程式 u x = v y , u y = − v x u_x=v_y,\ u_y=-v_x u x = v y , u y = − v x
例題
f ( z ) = z 2 = ( x 2 − y 2 ) + 2 x y i f(z) = z^2 = (x^2-y^2) + 2xyi f ( z ) = z 2 = ( x 2 − y 2 ) + 2 x y i
解答・解説 u = x 2 − y 2 u = x^2-y^2 u = x 2 − y 2 v = 2 x y v = 2xy v = 2 x y u x = 2 x = v y u_x = 2x = v_y u x = 2 x = v y u y = − 2 y = − v x u_y = -2y = -v_x u y = − 2 y = − v x
なぜ強力か 開領域全体で複素微分可能なら無限回微分可能 （実関数では成り立たない奇跡的な構造） コーシーの積分定理 ：単純閉曲線とその内部で正則なら閉曲線積分は 0。内部に孤立特異点がある場合の積分は、別の定理である留数定理で扱う 実積分や級数和（∫ e − x 2 cos a x d x \int e^{-x^2}\cos ax\, dx ∫ e − x 2 cos a x d x 練習問題
1 + i 1+i 1 + i
解答・解説 r = 2 r = \sqrt{2} r = 2 θ = π / 4 \theta = \pi/4 θ = π /4 2 e i π / 4 \sqrt{2}\,e^{i\pi/4} 2 e iπ /4
f ( z ) = z ˉ = x − i y f(z) = \bar{z} = x - iy f ( z ) = z ˉ = x − i y
解答・解説 u = x u=x u = x v = − y v=-y v = − y u x = 1 ≠ v y = − 1 u_x=1 \neq v_y=-1 u x = 1 = v y = − 1
( 1 + i ) 8 (1+i)^8 ( 1 + i ) 8
ヒント 極形式とド・モアブル。
解答・解説 ( 2 ) 8 e i 8 π / 4 = 16 e i 2 π = (\sqrt{2})^8 e^{i 8\pi/4} = 16e^{i2\pi} = ( 2 ) 8 e i 8 π /4 = 16 e i 2 π =
確認クイズ（複素関数）
問1. オイラーの公式 e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ
A e i π + 1 = 0 e^{i\pi} + 1 = 0 e iπ + 1 = 0 B e i π = 0 e^{i\pi} = 0 e iπ = 0 C e i π = i e^{i\pi} = i e iπ = i 問2. 正則関数の特徴はどれか。
A 開領域全体で複素微分可能なら無限回微分可能 B 必ずいたるところ発散する C 実部と虚部の偏導関数は任意でよい
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