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マクスウェルの方程式と電磁波

電場・磁場を支配する4本の方程式から「光」が導かれる。

この単元の目標
  • 4本の方程式それぞれの物理的意味を説明できる
  • 真空中的な電磁波の速さが定数だけで決まることを説明できる

4本の方程式（真空・微積形）

∇⋅E⃗=ρε0\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0
∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
∇×B⃗=μ0j⃗+ε0μ0∂E⃗∂t\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
方程式名前意味
(1)ガウスの法則電荷が電場の湧き出し源
(2)磁荷なし磁場に湧き出し・吸い込みがない（磁気単極子を含まない理論）
(3)ファラデーの電磁誘導変化する磁場が渦の電場をつくる
(4)アンペール＝マクスウェル電流と変化する電場が渦の磁場をつくる

電磁波の導出

🔍 回転をもう一度とって波動方程式へ

  1. 1. 無電荷・無電流の領域に限定
    ρ=0,j⃗=0,∇⋅E⃗=0\rho=0,\quad \vec j=0,\quad \nabla\cdot\vec E=0

    真空でも電荷や電流がある場所はあります。自由な電磁波の導出では、それらがない領域を選びます。

  2. 2. ファラデーの式の回転をとる
    ∇×(∇×E⃗)=−∂∂t(∇×B⃗)=−μ0ε0∂2E⃗∂t2\nabla\times(\nabla\times\vec E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec B)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}

    場が十分滑らかで、空間微分と時間微分を交換できるとします。

  3. 3. ベクトル恒等式で整理
    ∇×(∇×E⃗)=∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗=−∇2E⃗\nabla\times(\nabla\times\vec E)=\nabla(\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E=-\nabla^2\vec E

    発散がゼロなので勾配の項は消えます。

  4. 4. 速さを読み取る
    ∇2E⃗=1c2∂2E⃗∂t2,c=1ε0μ0\nabla^2\vec E=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2},\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

    磁場にも同じ波動方程式が成立します。

電荷も電流もない真空では、(3)(4) を組み合わせて各場の波動方程式が得られます: ∇2E⃗=ε0μ0∂2E⃗∂t2\nabla^2 \vec{E} = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} 波の速さは c=1/ε0μ0c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}。測定値は約 3×1083 \times 10^8 m/s ——光速そのものです。

例題

マクスウェルが第4式に「変位電流」を加えた理由を、電荷保存の観点から述べよ。

解答・解説

第4式の発散をとると 0=μ0∇⋅j⃗+μ0ε0∂t(∇⋅E⃗)=μ0(∇⋅j⃗+∂tρ)0=\mu_0\nabla\cdot\vec j+\mu_0\varepsilon_0\partial_t(\nabla\cdot\vec E)=\mu_0(\nabla\cdot\vec j+\partial_t\rho) となり、電荷保存の連続の式が得られる。変位電流項を除くと常に ∇⋅j⃗=0\nabla\cdot\vec j=0 を要求してしまい、充電中のコンデンサー極板のように電荷密度が変わる状況を記述できない。極板間には伝導電流がなくても電場の時間変化がある。

練習問題

  1. ∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec B=0 の帰結として正しいものを選べ。（a）磁力線は閉曲線を作れない（b）任意の閉曲面を貫く正味の磁束はゼロ（c）静的な磁場は存在しない。

    解答・解説

    **(b)**。発散定理より ∮B⃗⋅dS⃗=0\oint\vec B\cdot d\vec S=0。これは磁力線の湧き出し・吸い込みがないことを意味するが、すべての磁力線が閉曲線になるとは限らない。一様磁場の磁力線のように無限遠まで延びる場合もある。

  2. ε0≈8.85×10−12 F/m\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F/m}、μ0≈4π×10−7 H/m\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m} から cc を概算せよ。

    ヒント

    1/ε0μ01/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} を計算する。

    解答・解説

    ε0μ0≈1.11×10−17\varepsilon_0 \mu_0 \approx 1.11 \times 10^{-17} → c≈3.0×108c \approx 3.0 \times 10^8 m/s

  3. 真空中を +x+x 方向へ進む平面波が E⃗=E0cos⁡(kx−ωt) y^\vec E=E_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf y} で与えられる。k,ω>0k,\omega>0 とし、静的な背景磁場はない。磁場の向きと振幅を求めよ。

    ヒント

    ファラデーの式と ω=ck\omega=ck を使う。

    解答・解説

    B⃗=B0cos⁡(kx−ωt) z^\vec B=B_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf z} と置くと、ファラデーの式の zz 成分より −kE0=−ωB0-kE_0=-\omega B_0。したがって B0=E0/cB_0=E_0/c。電場・磁場・進行方向は互いに垂直で、E⃗×B⃗\vec E\times\vec B は +x+x 方向になる。たとえば E0=300 V/mE_0=300\,\mathrm{V/m} なら B0=1.0×10−6 TB_0=1.0\times10^{-6}\,\mathrm T。

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