シュレーディンガー方程式と確率解釈

状態は波動関数 ψ で表され、|ψ|² が位置の確率密度になる。

この単元の目標

波動関数の確率解釈（ボルンの規則）を説明できる
一次元箱の中の粒子のエネルギー準位を求められる

📑 目次

状態は複素数の波
一次元の無限深い井戸（箱の中の粒子）
不確定性関係

状態は複素数の波

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V \right] \Psi

$\Psi(x,t)$ 自体は観測できない複素数。$|\Psi|^2$ が粒子を位置 $x$ で見つける確率密度になります（ボルンの規則）。全空間で積分すると 1（どこかにいる）という規格化条件を課します。

一次元の無限深い井戸（箱の中の粒子）

非相対論的な質量 $m$ の粒子に対して、 $0<x<L$ では $V=0$ 、外側では無限大という理想化をします。壁で波動関数はゼロです。以下の $\Psi_n(x)$ は定常状態の空間部分で、時間依存性は $e^{-iE_nt/\hbar}$ 。一般の状態はこれらの重ね合わせであり、エネルギー固有値が飛び飛びになります:

\Psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)

例題

箱を狭くすると（ $L$ を半分に）基底状態のエネルギーはどうなるか。

解答・解説

$E_1 \propto 1/L^2$ なので **4 倍**。閉じ込めるほど運動量のゆらぎが大きくなるため（不確定性関係の帰結）。

不確定性関係

\Delta x \, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}

ここで $\Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}$ 、 $\Delta p=\sqrt{\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2}$ は、同じ量子状態を多数用意して測定したときの標準偏差です。測定装置の読み取り誤差を意味しません。上の井戸のエネルギー式も非相対論的な近似なので、箱を際限なく狭めて運動エネルギーが $mc^2$ に匹敵する領域まで外挿してはいけません。

これは測定技術の問題ではなく、波としての状態の性質（フーリエ解析の帰結）
位置を局在させるほど運動量の広がりが増える ——水素原子が潰れない理由の説明になる

プレイグラウンド: 波を重ね合わせると局在したパケットができる——位置と波数のトレードオフの直感

練習問題

箱の固有状態 $\Psi_n$ で、位置の確率密度が最大になる場所は？（ $n=2$ で考える）
解答・解説
$|\Psi_2|^2 \propto \sin^2(2\pi x/L)$ は $x = L/4, 3L/4$ で最大。中央 ( $x=L/2$ ) では**ゼロ**（節）。
$n=1 \to 2$ の遷移で吸収される光子のエネルギーを表せ。
ヒント
$E_n = n^2 E_1$
解答・解説
$\Delta E = E_2 - E_1 = 3E_1 = \dfrac{3\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$

📝 メモこの端末のみに保存

メモ欄はページ読み込み後に使えるようになります。