特殊相対性理論入門——時間の遅れ・ローレンツ収縮・E=mc²

光速不変の原理から、運動する時計が遅れ、物が縮み、質量がエネルギーに変わることを導く。

この単元の目標

光速度不変の原理と相対性原理を説明できる
ローレンツ因子 γ をピタゴラスの定理的に導き、時間の遅れとローレンツ収縮を計算できる
E = mc² の意味を述べ、静止エネルギーを計算できる

📑 目次

2つの出発点——光速は誰にでも同じ速さ
ローレンツ因子 γ とは
E = mc² ——質量は凝り固まったエネルギー

2つの出発点——光速は誰にでも同じ速さ

アインシュタインの出発点はシンプルな光速度不変の原理です。「真空中の光の速さ $c$ は、光源や観測者がどう動いていても常に同じ値になる」というものです。これは日常の直感（電車の中で投げたボールは地面から見ると速くなる）と矛盾しますが、マイケルソン＝モーリーの実験などがこの原理を支持しました。もう1つの柱は「すべての慣性系で物理法則は同じ形」という相対性原理です。この2つを受け入れると、時間と空間そのものの常識を作り替えざるを得なくなります。

光速度不変の原理: 真空中の光速 $c \approx 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$ は慣性系によらない
相対性原理: 物理法則の形はすべての慣性系で同じ
同時性の相対性: 同時に起きた出来事という判断は観測者ごとに異なる

ローレンツ因子 γ とは

相対論の効果はすべて γ（ガンマ） という係数でまとめられます。速度 $v$ が光速に比べて小さいときは $\gamma \approx 1$ なので日常では効果が見えませんが、 $v$ が $c$ に近づくと $\gamma$ は急激に大きくなります。

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

以下では重力の影響を無視し、相対速度

|v|<c

が一定の慣性系同士を比較します。固有時

\Delta t_0

は同じ時計の場所で起きる2事象の時間間隔です。固有長

L_0

は物体の静止系で測る長さで、動く物体の長さ

L

は測定する慣性系で同時刻の両端位置の差として定義します。写真に写る長さとは区別します。

🔍 ローレンツ因子 γ = 1/√(1 − v²/c²) の導出——光の時計の思考実験

Step 1: 光の時計をつくる
$\Delta t_0 = \dfrac{2L}{c}$
距離 $L$ を往復する光を使った時計を考えます。時計と一緒に動いている人にとっての往復時間（固有時） $Δt_0$ はこれです。
Step 2: 横方向に動かして見る
$c^2 \left(\dfrac{\Delta t}{2}\right)^2 = L^2 + v^2 \left(\dfrac{\Delta t}{2}\right)^2$
速度 $v$ で動く時計を地上から見ると、光は斜めに進みます。三平方の定理より「斜めの距離² ＝高さ² ＋横のずれ²」です。
Step 3: 整理する
$\left(c^2 - v^2\right)\left(\dfrac{\Delta t}{2}\right)^2 = L^2$
右辺の項を左へ移項してまとめます。
Step 4: 往復時間 Δt を解く
$\Delta t = \dfrac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\, \Delta t_0$
分母に現れたのがまさにローレンツ因子 γ です。
Step 5: 結論——動く時計は遅れる
$\therefore \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1$
$v > 0$ なら $\gamma > 1$ なので $Δt > Δt_0$ 。動いている時計の進みは、それを見る人の間で遅れて進みます（時間の遅れ）。

現象	公式	意味
時間の遅れ	$\Delta t = \gamma \Delta t_0$	動く時計は遅れて進む
ローレンツ収縮	$L = \dfrac{L_0}{\gamma}$	進行方向の長さが縮んで見える
質量とエネルギー	$E = \gamma m c^2$	静止質量 $m$ もエネルギーをもつ
ニュートン極限	$v \ll c \Rightarrow \gamma \approx 1$	低速では古典力学に戻る

E = mc² ——質量は凝り固まったエネルギー

相対論では、静止した物体も $mc^2$ という膨大な静止エネルギーを持つことが帰結します。太陽が輝くのは水素の核融合で質量の一部がエネルギーに変換されるためで、原子力発電も同じ式に従います。逆に言えば、エネルギーを持つ系はわずかに重くなります（バネ圧縮すると重くなる）。

E_0 = mc^2, \qquad E = \gamma mc^2

例題

$v = 0.6c$ で飛ぶ宇宙船がある。(1) ローレンツ因子 γ を求めよ。(2) 地上の人から見て宇宙船内の 1 秒（固有時）は何秒に見えるか。(3) 静止長 100 m の宇宙船の長さは何 m に見えるか。

解答・解説

(1) $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1/\sqrt{0.64} =$ ** $1.25$ **　(2) $Δt = 1.25 \times 1 =$ ** $1.25$ 秒**　(3) $100/1.25 =$ ** $80$ m**

収縮するのは進行方向だけです。横方向の長さは変わりません。また「見える」には光の伝播遅延（テレル回転）が加わるため、実際の写真では回転したように写ります。ここで扱うのは測定値としてのローレンツ収縮です。

練習問題

$v = 0.8c$ のときのローレンツ因子 γ を求めよ。
ヒント
$1 - 0.8^2 = 0.36$ 。
解答・解説
$\gamma = 1/\sqrt{0.36} =$ ** $5/3 \approx 1.67$ **
$\gamma = 2$ で飛ぶミューオンの固有寿命は $2.2\ \mathrm{\mu s}$ 。地上から見た寿命を求めよ。
解答・解説
$Δt = 2 \times 2.2 =$ ** $4.4\ \mathrm{\mu s}$ **
静止質量 $1\ \mathrm{kg}$ の物体の静止エネルギーを求めよ。 $c = 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$ 。
ヒント
$E_0 = mc^2$ 。
解答・解説
$E_0 = 1 \times (3 \times 10^8)^2 =$ ** $9 \times 10^{16}\ \mathrm{J}$ **（約 25 TWh 分のエネルギー）
$v \to c$ に近づけるとき、γ と必要なエネルギーはどうなるか述べよ。
解答・解説
$\gamma \to \infty$ となり、加速に必要なエネルギーも無限大になるため、**質量をもつ物体は光速に到達できない**

確認クイズ（相対論）

問1. 光速度不変の原理が主張することはどれか。

問2. 速度 v で動く物体の進行方向の長さはどう見えるか。

問3. $v = 0.6c$ のとき γ の値はいくらか。

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