相対論的力学——運動量・エネルギー・速度の加法定理

🔍 自由粒子の相対論的作用から運動量を導く

1. Step 1: 固有時を使って作用を組み立てる
   $$S=-mc^2\int d\tau,\qquad d\tau=dt\sqrt{1-v^2/c^2}$$

   質量 m > 0 の自由粒子を考えます。固有時はローレンツ不変です。係数 −mc² は低速で通常の運動エネルギーの項が得られるよう選びます。保存則だけから係数を推測するのではありません。

2. Step 2: 座標時刻に対するラグランジアン
   $$L=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$$

   位置に陽に依存しないので、解析力学で学んだ並進対称性から正準運動量が保存します。

3. Step 3: 速度で微分して運動量を得る
   $$p_i=\frac{\partial L}{\partial v_i}=\frac{mv_i}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma mv_i,\qquad E=\vec p\cdot\vec v-L=\gamma mc^2$$

   これで運動量と全エネルギーが同じ L から得られます。相互作用があれば場も含めた孤立系全体のエネルギー・運動量を保存量として扱います。

4. Step 4: 低速極限でニュートン力学に戻ることを確認
   $$v \ll c \; \Rightarrow \; \gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2} \approx 1 \; \Rightarrow \; p \approx mv$$

   日常の速度では $\gamma \approx 1$ なので古典式に一致します。良い理論は旧理論を含んでいなければなりません。

5. Step 5: 運動量保存が破れない限り、速度は c で頭打ち
   $$v = \dfrac{pc}{\sqrt{p^2 + m^2 c^2}} < c$$

   $p$ をどれだけ大きく（＝エネルギーを注ぎ込み）ても $v$ は $c$ に漸近するだけで超えられません。加速器の実験事実と完全に合致します。

🔍 E² = (pc)² + (mc²)² の導出——γ の定義から3行で

1. Step 1: γ² に現れる共通分母を用意する
   $$\gamma^2 = \dfrac{1}{1 - v^2/c^2}, \qquad \gamma^2 v^2 = \dfrac{v^2}{1 - v^2/c^2}$$

   まず $\gamma$ の2乗の式をそのまま書き、両辺に $v^2$ を掛けた形も作っておきます。

2. Step 2: 恒等式 γ²(1 − v²/c²) = 1 を変形する
   $$\gamma^2 - \gamma^2 \dfrac{v^2}{c^2} = 1 \; \Longrightarrow \; \gamma^2 m^2 c^4 - \gamma^2 m^2 v^2 c^2 = m^2 c^4$$

   両辺に $m^2 c^4$ を掛けました。左辺第1項は $(\gamma mc^2)^2 = E^2$ です。

3. Step 3: 左辺第2項を読み替える
   $$\gamma^2 m^2 v^2 c^2 = p^2 c^2$$

   $p = \gamma mv$ の定義を代入するだけです。

4. Step 4: 結論
   $$E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$$

   エネルギーの「直角部分」が運動量成分、もう一方が質量成分というきれいな構造。静止（$p=0$）なら $E = mc^2$、光子（$m=0$）なら $E = pc$ が即座に出ます。

🔍 加法定理の導出——ローレンツ変換の微分比

1. Step 1: ローレンツ変換を書く
   $$x' = \gamma (x - vt), \qquad t' = \gamma\left(t - \dfrac{vx}{c^2}\right)$$

   速度 $v$ で動く慣性系への変換式。時間も座標と一緒に混ざるのが相対論の肝です。

2. Step 2: 微分して速度の定義に持ち込む
   $$dx' = \gamma(dx - v\,dt), \qquad dt' = \gamma\left(dt - \dfrac{v\,dx}{c^2}\right)$$

   微小変化に対しては γ は定数扱いできます（系の相対速度は変わらないため）。

3. Step 3: 割り算して速度にする
   $$u' = \dfrac{dx'}{dt'} = \dfrac{dx - v\,dt}{dt - \dfrac{v\,dx}{c^2}} = \dfrac{\dfrac{dx}{dt} - v}{1 - \dfrac{v}{c^2}\dfrac{dx}{dt}}$$

   分子・分母を $dt$ で割ると $dx/dt = u$ が現れ、目的の形が出ます。

4. Step 4: 光速を代入してみる
   $$u = c \; \Longrightarrow \; u' = \dfrac{c - v}{1 - vc/c^2} = \dfrac{c-v}{1 - v/c} = c$$

   光に対してはどの慣性系でも同じ $c$——光速度不変の原理が自動的に成立します。

5. Step 5: c を超えられないことの確認
   $$1-\frac{u^{\prime 2}}{c^2}=\frac{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}{(1-uv/c^2)^2}>0\qquad (|u|<c,\ |v|<c)$$

   符号つきの1次元速度なので絶対値で条件を課します。この恒等式の右辺が正であることから |u′| < c が従います。分母が正というだけでは上限速度の証明になりません。

🔍 消滅エネルギーと光子の波長を計算する

1. Step 1: 静止エネルギー1個分
   $$E_0 = m_e c^2 = 9.109 \times 10^{-31} \times (2.998 \times 10^8)^2 = 8.19 \times 10^{-14}\ \mathrm{J}$$

   電子1個分の「値段」です。単位を eV に換算すると約 0.511 MeV になります。

2. Step 2: 2光子消滅を選び運動量を保存
   $$\vec P_{\mathrm{initial}}=0\quad\Rightarrow\quad\vec p_{\gamma1}+\vec p_{\gamma2}=0$$

   2光子チャネルでは同じエネルギーで逆向きになります。1光子だけへの消滅は禁止されますが、運動量保存だけで必ず2個と決まるわけではなく、3個以上の光子への消滅もあります。

3. Step 3: エネルギー分配
   $$2 E_\gamma = 2 m_e c^2 \; \Rightarrow \; E_\gamma = m_e c^2 = 0.511\ \mathrm{MeV}$$

   各光子がちょうど電子1個分の静止エネルギーを受け取ります。

4. Step 4: 波長に換算
   $$\lambda = \dfrac{hc}{E_\gamma} = \dfrac{6.626 \times 10^{-34} \times 2.998 \times 10^8}{8.19 \times 10^{-14}} = 2.43 \times 10^{-12}\ \mathrm{m}$$

   約 2.4 pm のガンマ線。PET 検出器はこの2本のγ線を同時に捉えて消滅地点を特定します。