一次関数と二次関数の比較——変化率・共有点・面積最大

🔍 放物線の変化の割合——なぜ場所ごとに違うのか

1. Step 1: 区間の y の増加量を計算する
   $$y(p + h) - y(p) = a(p + h)^2 - ap^2 = a(2ph + h^2)$$

   $(p + h)^2 = p^2 + 2ph + h^2$ を展開すると、$p^2$ の項が打ち消し合います。

2. Step 2: x の増加量でわる
   $$\dfrac{a(2ph + h^2)}{h} = a(2p + h)$$

   $h \neq 0$ でわりました。結果に $p$ が残っている、つまり始点に依存することがポイントです。

3. Step 3: 直線と比べる
   $$(k(p + h) + l) - (kp + l) = kh \implies \dfrac{kh}{h} = k$$

   直線では始点 $p$ に関係なく常に $k$ になります。ここが決定的な違いです。

4. Step 4: 具体例で確認する
   $$y = x^2 : \ p = 0 \to 1 \text{ rate } 1, \qquad p = 1 \to 2 \text{ rate } 3$$

   同じ幅 1 でも 0 → 1 では 1、1 → 2 では 3。放物線がだんだん急になる様子が数で表れました。

🔍 共有点の個数の判定——$y = x^2$ と $y = mx + k$

1. Step 1: y を消去する
   $$x^2 = mx + k \implies x^2 - mx - k = 0$$

   直線の式を放物線の $y$ に代入して、$x$ だけの二次方程式にします。

2. Step 2: 左辺を平方完成する
   $$\left(x - \dfrac{m}{2}\right)^2 = k + \dfrac{m^2}{4}$$

   左辺は 0 以上なので、右辺の符号で実数解の個数（＝共有点の個数）が決まります。

3. Step 3: 右辺の符号で場合分け
   $$k + \dfrac{m^2}{4} > 0 \text{ two points}, \quad = 0 \text{ tangent}, \quad < 0 \text{ none}$$

   右辺がプラスなら解は 2 つ、ゼロなら 1 つ（接する）、マイナスなら解なしです。

4. Step 4: 幾何的な意味
   $$y = mx + k \text{ touches } y = x^2 \iff k = -\dfrac{m^2}{4}$$

   傾き $m$ の直線が放物線に接するのは、切片 $k$ がちょうど $-\dfrac{m^2}{4}$ のとき。境界線の位置が式で書き表せました。

🔍 面積最大問題——$S = x(10 - x)$ の最大値

1. Step 1: 式を展開する
   $$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$$

   $x^2$ の係数がマイナスなので、放物線は下に開き、頂点で最大値をもちます。

2. Step 2: 平方完成する
   $$S = -\left(x^2 - 10x\right) = -\left\{(x - 5)^2 - 25\right\} = -(x - 5)^2 + 25$$

   平方完成で「ずれ」を定数項に追い出します。

3. Step 3: 最大値を読み取る
   $$(x - 5)^2 \ge 0 \implies S \le 25, \qquad S = 25 \text{ at } x = 5$$

   $x = 5$ のとき、つまりタテとヨコが等しい正方形のときに面積が最大です。