資料の整理——ヒストグラム・箱ひげ図・代表値の使い分け

度数分布表とヒストグラムで分布を読み、五数要約と箱ひげ図・四分位範囲によるばらつきの評価、代表値の使い分けまでを学ぶ。

この単元の目標

度数分布表とヒストグラムを作り、分布の山やすそから特徴を読み取ることができる
中央値・四分位数・四分位範囲を求め、五数要約を箱ひげ図に表すことができる
平均値・中央値・最頻値（モード）をデータの性質に応じて使い分けることができる

📑 目次

ばらつくデータをまとめて見る
代表値の使い分け
度数分布表とヒストグラム
中央値・四分位数・四分位範囲
箱ひげ図（五数要約のグラフ化）

ばらつくデータをまとめて見る

アンケートや実験の結果のように大量の数字を並べただけでは、全体のようすはつかめません。そこで 階級に分けて度数を数えた度数分布表 を作り、それを柱状グラフにしたものがヒストグラムです。ヒストグラムを見ると、山の位置・左右のゆがみ・ばらつきの大きさといった分布の特徴がひと目でわかります。分布の中心を 1 つの数で表したものが代表値（平均値・中央値・最頻値）、ばらつきの大きさを表すのが範囲や四分位範囲です。

\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}, \qquad \text{IQR} = Q_3 - Q_1

代表値の使い分け

一つの値が変わると平均と中央値はどう動く？

5人の読書時間が10、10、20、20、40分だった。40分を100分に訂正したとき、平均値と中央値はどう変わるか。

解答・解説

訂正前の平均は100÷5＝20分、訂正後は160÷5＝32分。中央値はどちらも小さい順の3番目なので20分です。平均はすべての値を使うため極端な値の影響を受けます。中央値だけでは合計や大きな値の変化は分かりません。

代表値を根拠とともに選ぶ

データ2、3、3、4、18の平均値・中央値・最頻値を求めよ。
解答・解説
平均値は30÷5＝6、中央値は3、最頻値も3です。18という大きな値が平均を押し上げています。
5個のデータで平均値が6と分かるとき、合計はいくつか。中央値が6という情報だけでも同じ合計が分かるか。
解答・解説
平均値6なら合計は6×5＝30です。中央値6だけでは合計は決まりません。1、2、6、7、8も、1、2、6、7、100も中央値は6ですが合計は異なります。

代表値	求め方	向いている場面
平均値	全部たして個数でわる	外れ値がなく、全データを公平に反映したいとき
中央値	小さい順に並べた中央の値（偶数個なら中央 2 つの平均）	外れ値の影響を避けたいとき（所得・住宅価格など）
最頻値（モード）	最も多く現れる値（階級なら度数最大の階級）	一番人気など、件数の多さが知りたいとき

外れ値が 1 つあるだけで平均値は大きく動いてしまいます。年収のデータでは一部の高額所得者が平均を押し上げるため、実感に近いのは中央値だと言われるのはこのためです。代表値を選ぶときは「外れ値がありそうか」「何を知りたいのか」の 2 点を必ず確認しましょう。

度数分布表とヒストグラム

例題 1

10 人のテスト点数 65, 72, 58, 90, 74, 68, 81, 77, 70, 85 を、階級幅 10 点（50 点からはじめる）の度数分布表に整理せよ。

解答・解説

**50〜60 未満 1 人、60〜70 未満 2 人、70〜80 未満 4 人、80〜90 未満 2 人、90〜100 未満 1 人**。山は 70 点台にあり、低い側にすそが少し引いた分布です。

階級（点）	度数（人）
50 以上 60 未満	1
60 以上 70 未満	2
70 以上 80 未満	4
80 以上 90 未満	2
90 以上 100 未満	1

中央値・四分位数・四分位範囲

データを小さい順に並べ替えて真ん中にくる値が中央値です。個数が偶数のときは中央の 2 つの値の平均をとります。さらに中央値で分割した下半分・上半分の中央値をそれぞれ第 1 四分位数 $Q_1$ 、第 3 四分位数 $Q_3$ とよび、 $Q_3 - Q_1$ を 四分位範囲 といいます。四分位範囲は中央半分のデータだけを使うため、最小値・最大値のような端の極端な値に引きずられにくい、堅実なばらつきの指標です。

🔍 四分位範囲の計算手順——8 人のテスト点数で確認する

Step 1: 小さい順に並べる
$42,\ 48,\ 55,\ 58,\ 62,\ 66,\ 71,\ 90$
8 個（偶数）なので中央値は 4 番目と 5 番目の平均になります。
Step 2: 中央値を求める
$\text{median} = \dfrac{58 + 62}{2} = 60$
データは下半分 42, 48, 55, 58 と上半分 62, 66, 71, 90 に分かれます。中央値自体はどちらのグループにも入れません。
Step 3: 第 1・第 3 四分位数を求める
$Q_1 = \dfrac{48 + 55}{2} = 51.5, \qquad Q_3 = \dfrac{66 + 71}{2} = 68.5$
それぞれ下半分・上半分の中央値です。
Step 4: 四分位範囲を計算する
$Q_3 - Q_1 = 68.5 - 51.5 = 17$
最大値 90 は外れ値気味ですが、四分位範囲 17 はその影響を受けません。これが四分位範囲の強みです。

箱ひげ図（五数要約のグラフ化）

箱ひげ図は、最小値・$Q_1$・中央値・$Q_3$・最大値 の 5 つの数（五数要約）を一本の図にまとめたものです。箱の中にデータの中央半分が入り、ひげの先まで含めた全体の広がりがわかります。2 つのクラスのテスト結果を比べるとき、箱の長さ（四分位範囲）が短いほうが成績が中央付近に集中しており、箱の位置の高低から代表値の差も読み取れます。

最小値: データのうち最も小さい値（左のひげの先）
$Q_1$ : 下半分の中央値（箱の左端）
中央値: 箱の中の縦の線
$Q_3$ : 上半分の中央値（箱の右端）
最大値: データのうち最も大きい値（右のひげの先）

例題 2

次の 10 個のデータの五数要約と四分位範囲を求めよ。　12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 31, 35, 40

解答・解説

最小値 **12**、 $Q_1 =$ **18**、中央値 **23.5**、 $Q_3 =$ **31**、最大値 **40**。四分位範囲は $31 - 18 = 13$

練習問題

データ 3, 7, 8, 10, 12 の平均値と中央値を求めよ。
ヒント
平均は総和を個数でわる。
解答・解説
平均値 $(3 + 7 + 8 + 10 + 12) \div 5 = 8$ 、中央値 **8**（このデータでは両者が一致）
データ 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 31, 35, 40 の四分位範囲を求めよ。
ヒント
下半分 5 個・上半分 5 個に分けてそれぞれの中央値をとる。
解答・解説
$Q_1 = 18, Q_3 = 31$ 、四分位範囲 **13**
ある店の 1 日の来客者は 10 代 5 人、20 代 14 人、30 代 9 人、40 代 11 人、50 代 6 人だった。最頻値（モード）となる階級を答えよ。
ヒント
度数が最大の階級を探す。
解答・解説
最頻値は **20 代**（14 人で最多）
外れ値を含む可能性が高い資料で、平均値よりも中央値が好まれる理由を一言で述べよ。
ヒント
極端な値が代表値に及ぼす影響を考える。
解答・解説
中央値は **外れ値の影響を受けにくい**（値の大きさではなく並びの位置だけで決まる）から。

確認クイズ

問1. 箱ひげ図から直接読み取ることができない値はどれか。

問2. 四分位範囲が小さいことが意味することはどれか。

問3. 年収のように一部に極端に大きな値が含まれるデータの代表値として適切なのはどれか。

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