比・割合・単位換算を式でつなぐ

何を1とするかを明確にし、比から全体に対する割合、連続する増減、時速と秒速の換算までを一つの式で整理する。

この単元の目標

比較量・基準量・割合を区別し、基準量が未知でも方程式で求められる
部分どうしの比と全体に対する割合の違いを説明できる
連続する割合の変更を倍率の積で表し、元に戻す倍率を求められる
距離と時間の単位をそろえ、速度の換算を根拠とともに計算できる

📑 目次

1．割合の分母は「何を1とするか」
2．部分どうしの比を、全体に対する割合へ
3．続けて変えるなら、割合ではなく倍率を掛ける
4．速度換算は分子と分母を別々に直す
5．練習：式の前に基準と単位を書く
まとめ：何で割るかを言葉にする

1．割合の分母は「何を1とするか」

「24人は何％か」だけでは答えは決まりません。全体が40人なら60％、全体が80人なら30％です。比べられる量を比較量、1とみなす量を基準量と呼びます。まず「何の何％か」を文の中で特定しましょう。

r=\frac{A}{B},\qquad A=Br,\qquad B=\frac{A}{r}

ここでAは比較量、Bは基準量、rは小数や分数で表した割合です。人数・長さなど同じ種類の量を同じ単位でそろえ、B＞0とします。BをA÷rで求めるときはr＞0も必要です。例えば25％は25÷100＝0.25。割合には人やmなどの単位は付きません。

例題1：基準量が未知のとき

図書委員の12人は学級全体の30％にあたる。学級は何人か。

解答・解説

全体をx人とすると、基準量はxであり、0.30x＝12。x＝12÷0.30＝40より40人です。検算すると12÷40＝0.30。12×0.30＝3.6では、委員12人を基準にしてしまっています。

2．部分どうしの比を、全体に対する割合へ

赤と青のカードの枚数の比が2：3なら、赤を2k枚、青を3k枚と表せます。赤と青だけで全体を作る場合、全体は5k枚です。赤は青の2/3ですが、全体の2/5です。「比の後ろの数」と「全体」は同じとは限りません。ここではk＞0とし、枚数は整数になるものとします。

A:B=m:n\ \Longrightarrow\ \frac{A}{B}=\frac{m}{n},\qquad \frac{A}{A+B}=\frac{m}{m+n}\quad(m,n>0)

例題2：全体と比から部分を求める

赤と青のカードだけが合わせて35枚あり、枚数の比は赤：青＝2：3である。赤は何枚で、全体の何％か。

解答・解説

2k＋3k＝35よりk＝7。赤は2×7＝14枚です。全体に対する割合は14÷35＝2/5＝0.4なので40％。2÷3を百分率にするのは「青に対して赤は何％か」という別の問いへの計算です。

基準を逆にすると割合も変わります。AがBより25％多ければA＝1.25Bです。B＝A÷1.25＝0.8Aなので、BはAより20％少ないことになります。同じ差でも分母が違うため、25％とはなりません。

3．続けて変えるなら、割合ではなく倍率を掛ける

20％増は「元の100％＋20％」なので1.2倍、20％減は0.8倍です。次の変更で基準にするのは、通常は変更後の量です。「最初の量の10％を引く」など基準が指定されている場合とは区別します。

🔍 p％増の後、変更後の量からq％減らす

最初の量
$x>0$
増加率pは0以上、減少率qは0以上100以下とする。
1回目の変更
$y=x\left(1+\frac{p}{100}\right)$
2回目の変更
$z=y\left(1-\frac{q}{100}\right)=x\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{q}{100}\right)$
最初からの増減率
$\frac{z-x}{x}\times100\%$
正なら増加、負なら減少。p−qだけでは計算できない。

例題3：20％増やして20％減らすと？

長さ500mのコースを20％長くし、次にその変更後の長さから20％短くした。最後は何mか。最初と比べて何％変わったか。

解答・解説

500×1.2＝600m、その後600×0.8＝480m。最初より20m短く、20÷500×100＝4％減です。増えた長さは100m、減った長さは120mで、同じ20％でも基準量が違います。

例題4：減らした量を元に戻す

800円の品を25％値引きした。値引き後の価格を何％値上げすれば800円に戻るか。税や端数処理は考えない。

解答・解説

値引き後は800×0.75＝600円。戻すには200円増やすので、200÷600＝1/3より値上げ率は正確には100/3％、約33.3％です（小数第2位を四捨五入）。戻す倍率は1÷0.75＝4/3。25％値上げでは600×1.25＝750円にしかなりません。

正の倍率aで変えた量を元に戻すには1/a倍します。100％減では量が0になるため、有限の倍率を掛けても元の正の量には戻せません。また「割合が20％から25％へ上がる」は5パーセントポイントの上昇ですが、元の20％に対する相対的な増加率は5÷20＝25％です。

4．速度換算は分子と分母を別々に直す

km/hは「1時間当たり何km」、m/sは「1秒当たり何m」を表します。1km＝1000m、1時間＝60分＝3600秒なので、距離を1000倍し、時間を3600秒に直して割ります。速度の数値だけを見て1000倍すると、時間の単位を取り残します。

1\,\mathrm{km/h}=\frac{1000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}=\frac{5}{18}\,\mathrm{m/s},\qquad 1\,\mathrm{m/s}=3.6\,\mathrm{km/h}

変換	数値にする操作	確認例
km/h → m/s	3.6で割る（5/18を掛ける）	72km/h＝20m/s
m/s → km/h	3.6を掛ける	15m/s＝54km/h
km/h → m/分	1000で掛けて60で割る	18km/h＝300m/分

例題5：単位をそろえて走行時間を求める

一定の速さ54km/hで走る車が750m進むのに何秒かかるか。加速・減速や停止は考えない。

解答・解説

54÷3.6＝15m/s。時間＝道のり÷速さより750÷15＝50秒です。別の検算として750m＝0.75kmから、0.75÷54＝1/72時間、3600÷72＝50秒とも求められます。750÷54ではmとkmが混在しています。

道のり＝速さ×時間は一定の速さならそのまま使えます。速さが変化する区間全体では、平均の速さ＝総道のり÷総時間を用います。異なる区間の速さを単純に足して2で割ってよいのは、2区間にかかった時間が等しい場合です。時間は正とします。

5．練習：式の前に基準と単位を書く

割合と換算をつなぐ練習

18人が全体の45％にあたる。全体は何人か。
解答・解説
40人。全体をx人として0.45x＝18、x＝18÷0.45＝40。18を基準に掛け算をしない。
AとBだけで計63個。個数の比A：B＝4：5のとき、Aは何個か。またBに対するAの割合は何％か。
解答・解説
Aは63×4/9＝28個。Bは35個なので、Bに対する割合は28÷35＝0.8より80％。全体に対する割合4/9とは区別する。
2000円を10％値引きし、その後の価格をさらに15％値引きする。最終価格と元の価格からの値引き率を求めよ。端数処理はしない。
解答・解説
2000×0.9×0.85＝1530円。値引き額470円を元の2000円で割り、470÷2000×100＝23.5％。10＋15＝25％ではない。
長さを20％短くしたあと、短くなった長さを何％長くすれば元に戻るか。元の長さは正とする。
解答・解説
25％。短縮後は0.8倍なので、戻す倍率は1÷0.8＝1.25。増加分は短縮後の量の0.25倍。
一定の速さ12m/sで2分30秒進むと何km進むか。
解答・解説
1.8km。2分30秒＝150秒なので12×150＝1800m＝1.8km。2分30秒は2.3分ではなく2.5分。
同じ道を、行きは6kmを3km/h、帰りは6kmを6km/hで移動した。休憩がないとき往復の平均の速さは何km/hか。
解答・解説
4km/h。行きは2時間、帰りは1時間で、総道のり12km÷総時間3時間＝4km/h。時間が等しくないので(3＋6)÷2＝4.5とはならない。

確認クイズ

問1. AがBの120％で、B＞0のとき正しい関係はどれか。

問2. 赤：青＝3：7で、この2色だけがある。全体に対する赤の割合は？

問3. 正の量を10％増やし、変更後の量を10％減らすと、最初の何倍になるか。

問4. 時速90kmを秒速に直した値はどれか。

まとめ：何で割るかを言葉にする

割合の分母には基準量を置く。全体と一部分を取り違えない。
連続変更は毎回の基準を確認し、基準が直前の量なら倍率を掛け合わせる。
速さは距離と時間の両方の単位をそろえる。答えには必ず単位を付ける。
本記事の数量は計算学習用の設定で、実測データではない。明記した近似以外は正確な値として扱い、計算途中では丸めない。

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