立体の体積と表面積——角柱・円柱・錐体・球

🔍 断面の変化を調べてから、3 分の 1 の公式を使う

1. Step 1: まず円柱と比べる
   $$V_{\text{円柱}} = \pi r^2 h$$

   底面の半径 6 cm、高さ 12 cm の円柱を用意します（3.14 を使う）。円柱の体積は 3.14 × 36 × 12 = 1356.48 cm³。

2. Step 2: 高さ半分の位置の断面
   $$\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi r^2$$

   頂点から高さ 6 cm の位置で円錐を切ると、断面の円は相似で半径が半分。面積は 2 乗比で 4 分の 1 になります（実際 3.14 × 9 = 28.26 cm² = 113.04 ÷ 4）。

3. Step 3: 断面積は頂点からの距離で変わる
   $$S(x) = \pi r^2 \left(\frac{x}{h}\right)^2$$

   x は頂点から底面に垂直に測った距離で、0 ≦ x ≦ h。底面に平行な断面積は「(x/h)² 倍」です。これで柱体より体積が小さい理由はわかりますが、この式だけでは 1/3 の証明は完了しません。断面を積み重ねて体積を求める厳密な計算は高校の積分などで学びます。

4. Step 4: 円錐の体積を計算
   $$\frac{1}{3} \times \pi r^2 h = \frac{1356.48}{3} = 452.16 \text{ cm}^3$$

   ここでは V = 底面積 × 高さ ÷ 3 を既知の公式として使います。容器で量を比べる実験は理解の助けになりますが、こぼれや測定誤差があり、それ自体は厳密な証明ではありません。

5. Step 5: 角錐も同じ
   $$V_{\text{角錐}} = \frac{1}{3} S_{\text{底面}} h$$

   三角錐・四角錐など、底面の形によらず錐体はすべて 1/3 です。柱体の公式を覚えていれば、錐体は「それを 3 で割る」だけで済みます。

🔍 公式の比較：球の体積は「円柱 − 円錐」の体積に等しい

1. Step 1: 半径 r・高さ 2r の円柱を用意する
   $$V_{\text{円柱}} = \pi r^2 \times 2r = 2 \pi r^3$$

   球はこの円柱にぴったり収まります（直径が高さと同じ 2r）。

2. Step 2: 同じ底面・高さの円錐を引く
   $$V_{\text{円錐}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 2r = \frac{2}{3} \pi r^3$$

   比較用の円錐の体積です。円柱からこの円錐を取り除いても、残りが球の形になるわけではありません。比較しているのは体積だけです。

3. Step 3: 差をとると球の体積になる
   $$2 \pi r^3 - \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$$

   球の公式と同じ式になります。これは覚え方としての比較です。断面を使って公式を導くには、球と同じ高さでの断面積を対応させる別の議論が必要です。

4. Step 4: 表面積の公式も比較する
   $$2 \pi r \times 2r = 4 \pi r^2$$

   この円柱の側面積が、ちょうど球の表面積に等しくなります。球の表面積 4πr² は「球を包む円柱のラベルの面積」です。