連立方程式
2つの文字を含む方程式を2つ組み合わせて解く。
- 連立方程式の意味を理解し、代入法・加減法で解ける
- 連立方程式を数量の問題に活用できる
連立方程式とは
2つの文字 x, y を含む2つの方程式を組み合わせたものを連立方程式といい、すべての式を同時に満たす x, y の値の組を解といいます。
加減法と代入法
加減法：式どうしをたしたりひいたりして文字を1つ消す。代入法：一方の式を y = … の形にして他方に代入する。係数がそろう（またはそろえられる）ときは加減法が速い。
上の連立方程式を解け。
解答・解説
たすと 、。①に代入して 。**解は **
幾何的な意味：2直線の交点
連立方程式の解は、2つの直線のグラフの交点の座標に対応します。解がない＝2直線が平行、解が無数にある＝2直線が一致、です。
濃度 10% の食塩水と濃度 30% の食塩水を混ぜて、濃度 15% の食塩水 200 g を作りたい。それぞれ何 g ずつ混ぜればよいか。
解答・解説
10% を x g、30% を y g とすると 。解いて **x = 150, y = 50**
発展：解の個数とグラフの位置関係
連立方程式 2x＋y＝7、x−y＝2 の候補として (x, y)＝(3, 1) が出た。この組は解か。
解答・解説
2×3＋1＝7、3−1＝2 なので両方を満たし、解です。一方 (2, 3) は最初の式だけを満たし、2−3＝−1 なので解ではありません。片方への代入だけでは検算になりません。
x＋y＝3 と 2x＋2y＝8 を同時に満たす組はあるか。
解答・解説
ありません。最初の式を2倍すると2x＋2y＝6となり、右辺8と矛盾します。2直線は平行です。
x＝2 と x＋y＝5 の解を求めよ。垂直な直線でも解を考えられるか。
解答・解説
x＝2を代入するとy＝3。解は (2, 3) です。x＝2の傾きは定義できませんが、もう一方の直線との交点は求められます。
で、各式の x、y の係数が同時には0でないとき、各式は直線を表します。解の個数は2直線の位置関係です。傾き は の場合だけ使えますが、次の係数による判定なら垂直な直線も扱えます。
- : 交点 1 つ（解はただ 1 つ）。垂直な直線と交わる場合も含む
- x、y の係数が同じ倍率で比例するが、右辺の定数はその倍率で比例しない → 平行（解なし）
- x、y の係数と右辺の定数がすべて同じ倍率で比例する → 一致（解は無数にある）
練習問題
を解け。
ヒント
②を として①に代入（代入法）か、②×2 ＋ ①（加減法）。
解答・解説
②×2 ＋① より 、**x = 3, y = 2**
を解け。（まず分数を整数に）
ヒント
①×6 で 。加減法へ。
解答・解説
①×3 ＋ ②×2 より 、**x = 4, y = 4**
ある 2 桁の整数は、十の位と一の位の数字の和が 11 で、位を入れ替えるともとの数より 27 小さくなる。もとの数を求めよ。
ヒント
十の位を x、一の位を y として ,
解答・解説
と より **74**
A さんは時速 4 km、B さんは時速 6 km で、距離 5 km 離れた 2 地点から向かい合って同時に出発した。2 人が出会うまで何分か。
ヒント
向かい合う場合は「速さの和」で近づく。
解答・解説
時間＝ **30 分**