二次関数とグラフ

y = ax²、y = a(x−p)² + q のグラフの性質を学ぶ。

この単元の目標

二次関数の意味を理解し、グラフをかける
頂点・軸・変域を読み取り、グラフの平行移動を説明できる

📑 目次

二次関数
基本：係数・変域・変化の割合
発展：放物線の平行移動
例題
発展：平方完成——一般形を頂点の形へ
練習問題

二次関数

$y$ が $x$ の二次式で表される関数を二次関数といいます。以下では $a \neq 0$ とします。中学での基本は $y = ax^2$ で、グラフは放物線です。平行移動した形や平方完成は高校につながる発展として扱います。

y = ax^2, \qquad y = a(x - p)^2 + q

基本：係数・変域・変化の割合

$y = ax^2$ は $y$ 軸について対称で、 $a > 0$ なら上に、 $a < 0$ なら下に開きます。変域は端点の値だけでなく、区間に $x = 0$ が含まれるかを確認します。変化の割合は「 $y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」で、比例定数 $a$ そのものとは限りません。

基本例題：負の数を含む変域

$y = ax^2$ が点 $(2, 8)$ を通る。(1) $a$ を求めよ。(2) $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。(3) $x$ が $-1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合を求めよ。

解答・解説

(1) $8 = 4a$ より $a = 2$ 。(2) 区間に $0$ が含まれるので最小値は $x = 0$ のとき $0$ 。端点の値は $2$ と $18$ なので最大値は $18$ 。よって $0 \le y \le 18$ 。(3) $(18 - 2) \div (3 - (-1)) = 4$ 。

基本の練習問題（解答つき）

$y = -x^2$ で $-2 \le x \le 1$ のとき、 $y$ の変域と、 $x$ が $-2$ から $1$ まで増加するときの変化の割合を求めよ。
ヒント
頂点と両端の値を調べる。変化の割合では始点と終点の値を使う。
解答・解説
$x = -2, 0, 1$ で $y = -4, 0, -1$ 。変域は $-4 \le y \le 0$ 。変化の割合は $(-1 - (-4)) \div (1 - (-2)) = 1$ 。
$y = 2x^2$ で $1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。
解答・解説
この区間に $x = 0$ は含まれず、 $x$ とともに $y$ は増加する。端点で $y = 2, 18$ なので $2 \le y \le 18$ 。最小値を $0$ にしないこと。

発展：放物線の平行移動

式	頂点	軸
$y = ax^2$	$(0, 0)$	$x = 0$ （y軸）
$y = a(x - p)^2 + q$	$(p,\ q)$	$x = p$

次の図のように、放物線を平行移動するだけで新しい式が得られます。

放物線の平行移動: y = ax² → y = a(x−p)² + q

$y = ax^2$ のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動すると $y = a(x-p)^2 + q$ になります。これが「頂点の形」が便利な理由です。

例題

例題 1

二次関数 $y = 2(x - 3)^2 - 5$ のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求めよ。

解答・解説

頂点 $(3, -5)$ 、軸 $x = 3$

例題 2

頂点が $(-1, 4)$ で、点 $(1, -4)$ を通る放物線の式を求めよ。

解答・解説

$y = a(x+1)^2 + 4$ に $(1, -4)$ を代入: $-4 = 4a + 4$ 、 $a = -2$ 。よって $y = -2(x+1)^2 + 4$

x

軸との共有点は

y = 0

とおいて調べます。

y = a(x-p)^2 + q

なら

(x-p)^2 = -q/a

なので、右辺が正なら2点、0なら1点、負なら0点です。高校では一般形の判別式

D = b^2 - 4ac

でも判定します。

発展：平方完成——一般形を頂点の形へ

$y = ax^2 + bx + c$ （ $a \neq 0$ ）を 平方完成して、平方の項と定数の和にすると頂点が読み取れます。因数分解のたすきがけとは別の操作です。たとえば $x^2 - 6x$ に $9$ を足すと $(x-3)^2$ になるので、同時に $9$ を引いて式の値を保ちます。

y = ax^2 + bx + c \quad \text{の頂点} \quad \left( -\frac{b}{2a},\; \frac{4ac - b^2}{4a} \right)

発展例題

$y = x^2 - 6x + 1$ のグラフの頂点を求めよ。（ $x^2 - 6x$ を $(x - 3)^2 - 9$ と見立てる）

解答・解説

$y = (x - 3)^2 - 9 + 1 = (x-3)^2 - 8$ より頂点 ** $(3, -8)$ **。公式 $(-b/2a, \cdot) = (3, \cdot)$ とも一致

練習問題

放物線 $y = -2(x + 4)^2 + 3$ の頂点の座標と軸の方程式を求めよ。
ヒント
$(x + 4)^2 = (x - (-4))^2$ と読み替える。
解答・解説
頂点 ** $(-4, 3)$ **、軸 ** $x = -4$ **
放物線 $y = 3x^2$ を x 軸方向に $-2$ 、y 軸方向に $5$ だけ平行移動したグラフの式を求めよ。
解答・解説
$y = 3(x + 2)^2 + 5$
頂点が $(2, -1)$ で点 $(0, 3)$ を通る放物線の式を求めよ。
ヒント
$y = a(x - 2)^2 - 1$ とおいて点を代入する。
解答・解説
$3 = a(0 - 2)^2 - 1 \Rightarrow a = 1$ 。よって ** $y = (x - 2)^2 - 1$ **
$y = x^2 + 4x + 7$ を平方完成し、最小値を求めよ。（発展）
ヒント
$x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$ 。
解答・解説
$y = (x + 2)^2 + 3$ より **最小値 3（x = −2 のとき）**

トピック第 1 問

次の二次方程式を解け。

x^2 + 3x + 2 = 0

無限ドリル: 二次方程式がランダムに出題されます。因数分解で解いてみよう

トピック第 1 問

次の式を因数分解せよ。

x^3 + 2x^2 + x + 2

激ムズ無限ドリル（発展）: たすきがけの因数分解。二次方程式の解法の土台です

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