比例・反比例
2つの量の変化の対応に着目し、比例・反比例を式とグラフで表す。
- 変化し合う2つの量の中に、比例・反比例の関係があることを見いだす
- 比例・反比例を表・式・グラフで表現し相互に読み取る
変化し合う2つの量
x が変わると y も変わるとき、y は x の関数であるといいます。中学1年では、その中で特に大切な2つの関係を学びます。
比例 $y = ax$
- x が 2 倍、3 倍になると y も 2 倍、3 倍になる
- x と y の比（商）が一定:
- グラフは原点を通る直線
反比例 $y = \dfrac{a}{x}$
- x が 2 倍になると y は 1/2 倍になる
- x と y の積が一定:
- グラフは双曲線（原点を通らない）
x と y が反比例し、 のとき である。(1) y を x の式で表せ。(2) のときの y の値を求めよ。
解答・解説
(1) より (2)
何を固定したかで関係が変わる
同じ長方形でも、横を一定にして縦を伸ばせば面積は増えますが、面積を一定にして縦を伸ばせば横は縮みます。なぜ違うのでしょう。前者では「1 cm 伸ばすたびに同じ面積を足す」、後者では「決まった面積を細長く分け直す」からです。以下、長さ x は正とします。横3 cmで縦を x cm、面積を y cm²とすれば y＝3x。面積12 cm²で縦を x cm、横を y cmとすれば xy＝12です。
時速4 kmで一定に歩く。歩いた時間 x 時間と道のり y kmの関係を表し、45分で進む道のりを求めよ。休憩はしないものとする。
解答・解説
1時間に4 kmずつ進むので y＝4x。45分は45÷60＝0.75時間だから y＝4×0.75＝3、3 kmです。比例定数4の単位は km/時。時間と距離は0以上の範囲で考えます。
12 kmの道のりを一定の速さ x km/時で進むのに y 時間かかる。関係式を作り、時速3 kmと時速4 kmでの時間を比べよ。
解答・解説
速さ×時間＝道のりなので xy＝12、y＝12/x（x＞0）。時速3 kmなら4時間、時速4 kmなら3時間。速さは4/3倍、時間は3/4倍になり、積はどちらも12 kmです。
表を作るときは、各列に x と y を1組ずつ書き、商と積を計算してみましょう。ただし数組が合うだけでは、まだ調べていない値でも成り立つ証明にはなりません。文章中の「一定の速さ」「同じ道のり」のような条件から式が成り立つ理由を確かめます。グラフにも現実の範囲だけを描き、時間が負の部分を歩行の記録として使わないようにします。
1 mあたり80円のリボンを x m買う代金を y 円とする。式と、2.5 mの代金を求めよ。長さに比例して代金を計算し、追加料金はないものとする。
解答・解説
単価が一定なので y＝80x。80×2.5＝200より200円。xは0以上です。
面積18 cm²の長方形で縦 x cm、横 y cmとする。式と、縦4 cmのときの横を求めよ。
解答・解説
xy＝18より y＝18/x（x＞0）。横は18÷4＝4.5 cm。積を確認すると4×4.5＝18 cm²です。
x＝1, 2, 3に対して y＝11, 10, 9となる関係は反比例といえるか。
解答・解説
いえません。積は11, 20, 27で一定ではありません。yが減ることだけでは反比例の条件を満たしません。