確率の応用——サイコロ2個と余事象

サイコロ2個の和・積の確率を場合の数の表で整理し、「少なくとも」の問題は余事象で解き分ける技法を学ぶ。

この単元の目標

サイコロ2個の結果を順序付きの組として数え、全事象が36通りであることを説明できる
和・積に関する事象の確率を表を使って正しく求めることができる
余事象の公式を使い、「少なくとも1つ」の問題を効率的に解くことができる

サイコロ2個——場合の数は36通り

サイコロ2個を投げるとき、結果は「1個目の出目 $a$ 、2個目の出目 $b$ 」の順序付きの組 $(a, b)$ で表します。 $(1, 2)$ と $(2, 1)$ は違う結果として数えるのがポイントで、こうすると全事象は $6 \times 6 = 36$ 通りになり、どの組も同様に確からしい（各 $\dfrac{1}{36}$ ）と言えます。和や積のような「まとまった量」に注目した確率は、表を作って場合の数を数えるのが確実です。

|S| = 6 \times 6 = 36, \qquad P((a, b)) = \dfrac{1}{36}

和	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
場合の数	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
確率	$\tfrac{1}{36}$	$\tfrac{2}{36}$	$\tfrac{3}{36}$	$\tfrac{4}{36}$	$\tfrac{5}{36}$	$\tfrac{6}{36}$	$\tfrac{5}{36}$	$\tfrac{4}{36}$	$\tfrac{3}{36}$	$\tfrac{2}{36}$	$\tfrac{1}{36}$

🔍 和が7になる確率——重複なく漏れなく数える

Step 1: 全事象を順序付きの組で書く
$(a, b), \quad a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies |S| = 36$
$(1, 2)$ と $(2, 1)$ は別の結果。順序を区別することが「同様に確からしい」を正しく使う条件です。
Step 2: 和が7の組を列挙する
$a + b = 7 \implies (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$
$a$ を1から順に固定すれば $b$ は自動的に決まるので、数え落としや重複が起きません。
Step 3: 確率を計算する
$P(a + b = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$
場合の数の比がそのまま確率になります。
Step 4: 表の山の頂点
$\max_{k} P(a + b = k) = P(a + b = 7) = \dfrac{1}{6}$
表が山型になり、真ん中の和7が最も起こりやすい。この非対称さが「7の法則」として知られています。

余事象——「少なくとも1つ」は引いて求める

「少なくとも1つは〜」という事象を直接数えると、1個だけ該当、2個とも該当、…と場合分けが増えて面倒です。そこで余事象「1つも〜でない」を数えて、1 から引きます。余事象は事象 $A$ と全事象 $S$ をちょうど分け合うので、確率の計算が一段楽になります。

P(A) = 1 - P(\overline{A})

🔍 余事象の公式の導出

Step 1: 場合の数で全事象を分割する
$n(A) + n(\overline{A}) = n(S)$
事象 $A$ に入る場合と入らない場合で、全場合を重複なくちょうど分け合います。
Step 2: 全体の数で割る
$\dfrac{n(A)}{n(S)} + \dfrac{n(\overline{A})}{n(S)} = 1$
同様に確からしい場合の確率は「いい場合の数 ÷ 全体」なので、確率どうしの和は 1 になります。
Step 3: 移項して完成
$\therefore P(A) = 1 - P(\overline{A})$
「少なくとも1つ」⇔ 余事象「0個」の変換が即座にできるようになると、難問も一気に解けるようになります。

例題

サイコロ2個を同時に投げるとき、出た目の**積が偶数**になる確率を余事象を使って求めよ。

解答・解説

余事象は「積が奇数」＝両方とも奇数。奇数の目は 3 個なので $3 \times 3 = 9$ 通り。 $P = 1 - \dfrac{9}{36} =$ ** $\dfrac{3}{4}$ **

「少なくとも1つ偶数」を直接数えると 27 通りを数えることになりますが、余事象なら

36 - 9 = 27

が一行で出ます。数える方向を賢く選ぶのが確率のコツです。

練習問題

サイコロ2個の出た目の和が 4 になる確率を求めよ。
ヒント
和が4の組は $(1,3), (2,2), (3,1)$ の3つ。
解答・解説
$\dfrac{3}{36} =$ ** $\dfrac{1}{12}$ **
和が 7 にならない確率を余事象を使って求めよ。
ヒント
$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ 。
解答・解説
$1 - \dfrac{6}{36} =$ ** $\dfrac{5}{6}$ **
出た目の積が 12 になる確率を求めよ。
解答・解説
$(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)$ の4通り。 $\dfrac{4}{36} =$ ** $\dfrac{1}{9}$ **
少なくとも一方が 6 の目である確率を余事象を使って求めよ。
ヒント
余事象は「両方とも 6 以外」＝各サイコロ 5 通り。
解答・解説
$1 - \dfrac{5 \times 5}{36} = 1 - \dfrac{25}{36} =$ ** $\dfrac{11}{36}$ **

確認クイズ

問1. サイコロ2個の和のうち、最も確率が高い値はどれか。

問2. 出た目を $(1, 2)$ と $(2, 1)$ のように順序を区別して数える理由はどれか。

問3. 少なくとも1つが 4 以上の目である確率は？（余事象：両方とも 3 以下）

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