比例・反比例のグラフと式の読み方（詳細版）

式とグラフを行き来して読み替える。係数 a の読み取り、双曲線の性質、直線と双曲線の判定法を習得する。

この単元の目標

グラフ上の1点の座標から比例・反比例の式を求めることができる
反比例のグラフで「点と両軸で囲まれる長方形の面積が一定」であることを説明できる
点の座標の組から、それが比例・反比例のどちらのグラフ上にあるかを判定できる

📑 目次

式とグラフを行き来する
グラフから式を読み取る
直線か双曲線かを見分ける判定法

式とグラフを行き来する

比例 $y = ax$ のグラフは原点を通る直線、反比例 $y = \dfrac{a}{x}$ のグラフは原点に対称な双曲線です。このレッスンでは「式からグラフの形を予想する」と「グラフから式を読み取る」という双方向の読み替えを徹底的に練習します。グラフ上の点の座標が1つわかれば、係数 $a$ はただ1つに決まることが鍵になります。

項目	比例 $y = ax$	反比例 $y = \dfrac{a}{x}$
グラフの形	原点を通る直線	原点対象の双曲線
$a > 0$ のときの位置	第1・第3象限	第1・第3象限
$a < 0$ のときの位置	第2・第4象限	第2・第4象限
変化のようす	$y \div x$ が一定（等比的に増減）	$x \times y$ が一定（片方が増えると片方は減る）
$x$ の範囲	0 を含むすべての値	$x \neq 0$ （原点は通らない）

y = ax, \qquad y = \dfrac{a}{x}

グラフから式を読み取る

グラフ上の点 $P(p, q)$ がわかれば、比例なら $a = q \div p$ 、反比例なら $a = p \times q$ と計算するだけで式が確定します。点が2つ以上与えられた場合でも、どちらの点を使って計算しても同じ $a$ になります。これは「2つの点が同じグラフ上にある」ことの裏返しであり、グラフの一致性の判定にも使えます。

P(p,\ q) \text{ on the graph} \implies a = \dfrac{q}{p} \ \text{(proportional)}, \quad a = pq \ \text{(inverse)}

🔍 反比例のグラフと長方形の面積——なぜ「かけると一定」なのか

Step 1: グラフ上の点を式に代入する
$P(p,\ q) \in y = \dfrac{a}{x} \implies q = \dfrac{a}{p}$
グラフ上の点は必ず式を満たします。これがすべての出発点です。
Step 2: 両辺に p を掛ける
$p q = a$
点 $P$ と $x$ 軸・ $y$ 軸で囲まれる長方形の面積は縦横 $p \times q$ なので、その面積は常に $a$ と一致します。
Step 3: 別の点でも同じ
$P_2(p_2,\ q_2) \text{ on the curve} \implies p_2 q_2 = a$
どこで切り取っても面積 $a$ の長方形が作れます。
Step 4: 結論
$\text{area} = |a| \quad (a < 0 \text{ のときは第2・第4象限})$
双曲線とは「面積 $|a|$ の長方形の頂点を滑らかにつないだ軌跡」なのです。この性質は入試でも頻出です。

例題 1

反比例のグラフが点 $(3, -6)$ を通るとき、このグラフの式を求めよ。また、点 $(-2, k)$ がこのグラフ上にあるとき、 $k$ の値を求めよ。

解答・解説

$a = 3 \times (-6) = -18$ なので $y = -\dfrac{18}{x}$ 。 $k = -18 \div (-2) =$ ** $9$ **

直線か双曲線かを見分ける判定法

与えられた点たちが「比例のグラフ」か「反比例のグラフ」か迷ったら、座標の組ごとに2つの値を計算して比べます。 $y \div x$ がどの点でも等しければ比例、 $x \times y$ がどの点でも等しければ反比例です。どちらも一定にならなければ、その点たちは同じ直線・双曲線の上にはありません。この判定は表形式で出題されると特に有効です。

点の与えられ方	計算方法	結論
$y \div x$ を各点で比較	商がすべて等しい	比例 $y = ax$ のグラフ上
$x \times y$ を各点で比較	積がすべて等しい	反比例 $y = \dfrac{a}{x}$ のグラフ上
商も積も一定でない	両方を確認して不一致	どちらのグラフにも載らない

練習問題

比例のグラフが点 $(-4, 10)$ を通るとき、このグラフの式を求めよ。
ヒント
$a = y \div x$ を計算する。
解答・解説
$a = 10 \div (-4) = -\dfrac{5}{2}$ 、よって $y = -\dfrac{5}{2}x$
反比例 $y = \dfrac{a}{x}$ のグラフが点 $(6, -2)$ を通る。(1) $a$ の値 (2) 点 $(-3, k)$ における $k$ の値を求めよ。
解答・解説
(1) $a = -12$ 　(2) $k = -12 \div (-3) =$ ** $4$ **
双曲線 $y = \dfrac{16}{x}$ 上の点 $P(2, 8)$ と、 $x$ 軸・ $y$ 軸で囲まれる長方形の面積を求めよ。
ヒント
長方形の面積は $x \times y$ 。
解答・解説
$2 \times 8 =$ ** $16$ **（係数 $a$ と一致する）
点 $(2, 6)$ を通る比例の直線と、同じ点を通る反比例の双曲線のもう1つの共有点を求めよ。
ヒント
連立すると $3x^2 = 12$ 。
解答・解説
$y = 3x$ と $xy = 12$ から $3x^2 = 12$ 、 $x = \pm 2$ 。もう1点は ** $(-2, -6)$ **

確認クイズ

問1. 反比例 $y = \dfrac{12}{x}$ のグラフがある象限はどれか。

問2. 点 $(4, 3)$ は次のどのグラフ上にあるか。

問3. 比例 $y = ax$ のグラフ上の点 $P(p, q)$ について、常に成り立つ关系はどれか。

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