三平方の定理

直角三角形の辺の長さの関係を学び、長さの計算に活用する。

この単元の目標

直角三角形で、直角をはさむ辺を $a, b$ 、直角の向かいの辺（斜辺）を $c$ とします。斜辺は最も長い辺です。直角でない三角形に、そのまま三平方の定理を使ってはいけません。

a^2 + b^2 = c^2 \quad (c \text{ は斜辺})

🔍 三平方の定理の証明——正方形の組み替えで見る

Step 1: 大きな正方形を用意する
$\text{一辺 } (a+b) \text{ の正方形}$
この中に、直角三角形（a, b, c）を4つ、隙間なく c をはさむように置く。
Step 2: 配置その1 — 内側に c² の正方形
$\text{全体} = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2$
内側にできるのは一辺 c の正方形（直角三角形4枚＋それ）。
Step 3: 配置その2 — 同じ正方形を別の切り方で
$\text{全体} = 4 \times \frac{ab}{2} + a^2 + b^2$
今度は三角形を2つずつペアにして長方形に見ると、残りが a² と b² の2つの正方形になる。
Step 4: 等置して整理
$4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2 = 4 \cdot \frac{ab}{2} + a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; c^2 = a^2 + b^2$
同じ大きさの正方形を2通りに分けたにすぎないので等しい。「図を動かしただけで定理が従う」有名な証明です。

直角をはさむ2辺の正方形の面積の和が、斜辺の正方形の面積と等しい、というのが幾何的な意味です。次の図で「赤＋緑＝青」が成り立つことを確認しましょう。

三平方の定理: 各辺上の正方形の面積の関係（a=3, b=4, c=5）

有名な整数解（ピタゴラス数）：(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17)。テストの計算ではこれらが頻出です。

例題

底辺 8 cm、高さ 3 cm の二等辺三角形の、等しい辺の長さを求めよ。

解答・解説

頂点から底辺へ垂線を下ろすと半分に分かれる。 $4^2 + 3^2 = 25$ より **5 cm**

例題：斜辺以外の辺を求める

直角三角形の斜辺が 13 cm、直角をはさむ一辺が 5 cm のとき、もう一辺を求めよ。

解答・解説

求める長さを $x$ cm とすると $5^2 + x^2 = 13^2$ 。 $x^2 = 169 - 25 = 144$ 。長さは正なので $x = 12$ 、答えは **12 cm**。斜辺の平方から既知の辺の平方を引く。

練習問題（解答つき）

縦 6 cm、横 8 cm の長方形の対角線の長さを求めよ。
解答・解説
対角線でできる直角三角形より $d^2 = 6^2 + 8^2 = 100$ 。 $d > 0$ なので **10 cm**。
一辺 6 cm の正三角形の高さと面積を求めよ。
ヒント
高さを引くと底辺が 3 cm ずつに分かれ、斜辺が 6 cm の直角三角形ができる。
解答・解説
高さ $h$ は $h^2 = 6^2 - 3^2 = 27$ より $3\sqrt{3}$ cm。面積は $6 \times 3\sqrt{3} \div 2 = 9\sqrt{3}$ cm²。
縦 3 cm、横 4 cm、高さ 12 cm の直方体の、向かい合う頂点を結ぶ空間の対角線の長さを求めよ。
解答・解説
底面の対角線は $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm。それと高さでできる直角三角形より、空間の対角線は $\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm。三平方の定理を2回使う。

空間図形でも使えます。直方体の対角線の長さは

\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

（定理の空間への拡張）。

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