相似な図形と面積比・体積比

相似比から対応する長さ・面積・体積を求める。

この単元の目標

相似条件で2つの図形の相似を確認できる
相似比から面積比・体積比を計算できる

相似比

相似な2つの図形では、対応する辺の比＝対応する高さの比＝相似比。そして次の重要な関係が成り立ちます。

\text{面積比} = (\text{相似比})^2, \qquad \text{体積比} = (\text{相似比})^3

🔍 なぜ面積は2乗、体積は3乗になるのか

Step 1: 長さが k 倍の長方形
$\text{たて } a \to ka, \quad \text{よこ } b \to kb$
相似比 k の拡大では、すべての「長さ」が等倍率で伸びる。
Step 2: 面積を計算
$(ka)(kb) = k^2 ab$
縦と横、2つの長さの積なので k² 倍。三角形でも同じ（底辺×高さ÷2 の両方が k 倍）。
Step 3: 体積は「3つの長さの積」
$(ka)(kb)(kc) = k^3 abc$
直方体ならたて×よこ×高さ。だから体積比は相似比の3乗になる。

例題

相似な2つの立体の体積比が $8 : 27$ のとき、相似比と表面積比を求めよ。

解答・解説

$\sqrt[3]{8} : \sqrt[3]{27} =$ ** $2 : 3$ **（相似比）。表面積比は $2^2 : 3^2 =$ ** $4 : 9$ **。

平行線で相似な三角形をつくる

三角形 ABC の辺 AB, AC の内部に点 D, E をとり、DE と BC が平行なら、同位角より ∠ADE = ∠ABC、∠AED = ∠ACB です。2組の角がそれぞれ等しいので △ADE ∽ △ABC。対応は A ↔ A、D ↔ B、E ↔ C で、AD : AB = AE : AC = DE : BC となります。直角が1組等しいだけでは相似とはいえません。

例題：小三角形と残りの部分

上の図形で AD = 4 cm、DB = 2 cm、AC = 9 cm、BC = 12 cm とする。AE、EC、DE を求めよ。

解答・解説

AB = 4 + 2 = 6 cm より相似比は AD : AB = 2 : 3。AE = 9 × 2/3 = 6 cm、EC = 9 − 6 = 3 cm、DE = 12 × 2/3 = 8 cm。AD : DB ではなく AD : AB を使う。

練習問題

相似比 $3 : 5$ の2つの三角形の面積比を求めよ。
解答・解説
$3^2 : 5^2 =$ ** $9 : 25$ **
△ABC で D は辺 AB の内部、E は辺 AC の内部にあり DE ∥ BC。AD : AB = 2 : 5、△ABC の面積が 50 cm² のとき、△ADE と四角形 DBCE の面積を求めよ。
解答・解説
面積比は $2^2 : 5^2 = 4 : 25$ 。△ADE は $50 \times 4/25 = 8$ cm²、残りの四角形 DBCE は $50 - 8 = 42$ cm²。
相似な2つの円錐の母線の長さの比が $2 : 3$ のとき、側面積の比と体積比を求めよ。
ヒント
面積は相似比の2乗、体積は3乗。
解答・解説
側面積比 $=$ ** $4 : 9$ **、体積比 $=$ ** $8 : 27$ **
地図上の縮尺 1/25000 で、地図上の距離 4 cm の実際の距離を求めよ。
解答・解説
$4 \times 25000 = 100000$ cm $=$ **1 km**

確認クイズ（相似）

問1. 相似な2つの図形で、相似比が 1 : 3 のとき面積比は？

問2. 相似な2つの球の体積比が 64 : 125 のとき、半径の比は？

問3. 三角形の中に底辺と平行な線分を引いたとき、できる小三角形と元の三角形の関係は？

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