微分法の拡張と応用

積・商の微分、合成関数の微分、接線と増減の応用。

この単元の目標

📑 目次

\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \qquad \left\{ f(g(x)) \right\}' = f'(g(x)) g'(x)

合成関数の公式（連鎖律）は「外側を先に微分 × 内側の微分」。たとえば $y = \sin 2x$ なら $y' = \cos 2x \times 2 = 2\cos 2x$ です。

例題

$f(x) = x e^{-x}$ ( $x \ge 0$ ) の最大値を求めよ。

解答・解説

$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$ より x = 1 で極大かつ最大。最大値 $f(1) = e^{-1}$

定義域と符号まで確認する微分

$f(x)=x\log x$ （ $x>0$ 、 $\log$ は自然対数）の最小値を求めよ。
ヒント
積の微分を使い、導関数が負から正に変わる点を調べます。
解答・解説
$f'(x)=\log x+1$ より、 $0<x<e^{-1}$ で負、 $x>e^{-1}$ で正。したがって $x=e^{-1}$ で最小値 $-e^{-1}$ をとります。 $f'(x)=0$ を解くだけでなく、定義域全体での増減を確認することが大切です。
$y=e^{2x}\sin x$ の $x=0$ における接線を求めよ。
ヒント
積と合成関数の微分を組み合わせ、接点と傾きを別々に求めます。
解答・解説
$y'=e^{2x}(2\sin x+\cos x)$ 。 $x=0$ で $y=0$ 、 $y'=1$ なので接線は $y=x$ 。 $e^{2x}$ の微分では内側の $2x$ の導関数 2 を掛け忘れないようにします。

\int_a^b f(x)\,dx, \qquad V = \pi \int_a^b \left\{ f(x) \right\}^2 dx \; (\text{x軸まわり})

回転体の体積は、細い円板（半径 f(x)、厚さ dx）の体積 $\pi f(x)^2 dx$ を積み上げるものとして導けます。区分求積の考え方そのものです。

例題

$y = \sqrt{x}$ ( $0 \le x \le 1$ ) を x 軸のまわりに1回転させてできる体積を求めよ。

解答・解説

$V = \pi \displaystyle\int_0^1 x\,dx = \dfrac{\pi}{2}$

数学IIIの積分は部分積分・置換積分が武器になります。

(fg)' = f'g + fg'

を移項した

\displaystyle\int f'g = [fg] - \int fg'

が部分積分の本体です。

トピック第 1 問

次の極限を求めよ。

\lim_{x \to \infty} \frac{1x^2 + 2}{4x^2 + 3}

激ムズ無限ドリル: 因数分解・有名極限・∞/∞ 型の極限がランダムに出題されます

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