統計的な推測の詳細

🔍 $p \pm 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ の導出

1. Step 1: 標本比率の分布
   $$\bar{p} = \dfrac{X}{n} \quad \text{は 近似的に} \quad N\left(p,\ \dfrac{p(1-p)}{n}\right) \text{ に従う}$$

   成功回数 X が B(n, p) に従うので、標本比率 $\bar{p} = X/n$ の平均は $np/n = p$、分散は $np(1-p)/n^2 = p(1-p)/n$ となります。X を定数倍しただけなので、n が大きければ正規近似から $\bar{p}$ も正規分布に従います。

2. Step 2: 標準化して 95% 区間を作る
   $$P\left( -1.96 \le \dfrac{\bar{p} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \le 1.96 \right) \approx 0.95$$

   正規近似と P(|Z| ≤ 1.96) ≈ 0.95 を使いました。「標本比率は約95%の確率で真の p の近く ±1.96SD にある」ことを意味します。

3. Step 3: 不等式を p について解く
   $$|\bar{p} - p| \le 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \quad \Longleftrightarrow \quad p - 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \le \bar{p} \le p + 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$$

   これは「真の p から見た標本比率の動き方」。しかし現実には標本比率 $\bar{p}$ は観測できても、知りたい p は不明です。

4. Step 4: 視点を反転させる
   $$\bar{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \lesssim p \lesssim \bar{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$$

   不等式を p の周りに読み替えます。誤差幅の p(1−p) は未知なので、標本比率で置き換える（$p(1-p) \approx \bar{p}(1-\bar{p})$、最大値 1/4 を使う近似も一般的）のが実用上の工夫です。

5. 結論
   $$p \pm 1.96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$$

   この区間が真の p を含む確率が約95%。「95%信頼度」の意味は、こうして作った区間を何度も作れば95%の割合で正しい p を含む、という頻度的な解釈です。