分数関数・無理関数と逆関数・合成関数

式だけでなく定義域と値域を追い、逆関数の枝と合成の順序を正しく扱う。

この単元の目標

分数関数・無理関数の定義域、値域、基本的なグラフの特徴を説明できる。
一対一性と定義域の制限を確認して逆関数を求め、枝を選べる。
合成関数の式と定義域を、内側から外側へ条件をつないで求められる。

📑 目次

関数は「式と入力の範囲」の組である
分数関数と無理関数の基本形
逆関数には一対一性が必要
合成関数：内側の出力が外側に入るか

関数は「式と入力の範囲」の組である

関数は、定義域の各入力に出力をただ一つ対応させる規則です。実際に出てくる出力全体が値域です。同じ $x^2$ でも、定義域が実数全体か $x\ge0$ かで逆関数の有無が変わります。以下では実数の範囲で考え、特に指定がなければ式が意味をもつ実数全体を定義域とします。

分数関数と無理関数の基本形

y=\frac{a}{x-p}+q\quad(a\ne0),\qquad y=\sqrt{x-p}+q

分数関数の基本形は $y=a/x$ を横に $p$ 、縦に $q$ 移動した双曲線です。分母が0になる $x=p$ は除きます。 $a\ne0$ なら分数部分は0にならず、値域は $y\ne q$ 。直線 $x=p$ と $y=q$ は漸近線です。 $a>0$ なら中心 $(p,q)$ の右上・左下、 $a<0$ なら右下・左上に枝があります。

平方根 $\sqrt{u}$ は $u\ge0$ に対して非負の値を表します。したがって $y=\sqrt{x-p}+q$ の定義域は $x\ge p$ 、値域は $y\ge q$ です。 $y=-\sqrt{x-p}+q$ なら値域は $y\le q$ 。根号の前の符号は、グラフの上側・下側の枝を決めます。

式	定義域	値域
$y=2/(x-1)+3$	$x\ne1$	$y\ne3$
$y=\sqrt{2x-4}$	$x\ge2$	$y\ge0$
$y=-\sqrt{x+1}+2$	$x\ge-1$	$y\le2$

逆関数には一対一性が必要

$f$ の値域を入力集合として、出力から元の入力へ戻す関数を $f^{-1}$ と書きます。異なる入力が同じ出力をもたないこと（一対一性）が必要です。単調増加・単調減少なら一対一です。 $y=x^2$ は実数全体では一対一ではありませんが、 $x\ge0$ に制限すれば逆関数は $y=\sqrt{x}$ 、 $x\le0$ に制限すれば $y=-\sqrt{x}$ です。

\operatorname{Dom}(f^{-1})=\operatorname{Ran}(f),\quad \operatorname{Ran}(f^{-1})=\operatorname{Dom}(f)

計算は「 $y=f(x)$ を $x$ について解く→ $x,y$ を交換する」の順です。同時に範囲も交換します。点 $(a,b)$ は $(b,a)$ に移るため、元の関数と逆関数のグラフは直線 $y=x$ に関して対称です。二乗で解く場合は、二乗前の符号条件を最後まで残しましょう。

🔍 平方根の逆関数を、範囲を保存して導く

元の関数と値域
$y=\sqrt{x-1}+2,\quad x\ge1,\quad y\ge2$
平方根は非負なので、出力は2以上です。元の関数は単調増加です。
符号条件付きで二乗
$y-2=\sqrt{x-1}\ge0\ \Longrightarrow\ x=(y-2)^2+1$
条件 y≥2 があるので、二乗しても元の式に戻せます。
変数と範囲を交換
$f^{-1}(x)=(x-2)^2+1,\quad x\ge2$
値域は y≥1。放物線全体ではなく頂点の右側の枝です。
合成して検算
$f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x-2)^2}+2=|x-2|+2=x\quad(x\ge2)$
定義域の制限があるから絶対値を外せます。

例題1：分数関数の逆関数と値域

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ の定義域、値域、逆関数を求めよ。

解答・解説

$f(x)=2+3/(x-1)$ より定義域は $x\ne1$ 、値域は $y\ne2$ 。 $y(x-1)=2x+1$ から $(y-2)x=y+1$ なので $x=(y+1)/(y-2)$ 。したがって $f^{-1}(x)=(x+1)/(x-2)$ 、定義域は $x\ne2$ 、値域は $y\ne1$ 。各 $y\ne2$ に入力がただ一つ決まるので一対一性も確認できます。例えば $f(2)=5$ 、 $f^{-1}(5)=2$ と元に戻ります。

合成関数：内側の出力が外側に入るか

(f\circ g)(x)=f(g(x)),\qquad D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}

$f\circ g$ は、まず $g$ 、次に $f$ を作用させます。内側の $g(x)$ が計算でき、さらにその値が外側の $f$ の定義域に入る必要があります。 $f\circ g$ と $g\circ f$ は一般に式も定義域も違います。約分や平方根の整理で式が簡単になっても、元の合成にあった入力制限は消せません。

例題2：順序で変わる合成の定義域

$f(x)=\sqrt{x}$ 、 $g(x)=1/(x-1)$ とする。 $f\circ g$ と $g\circ f$ の式・定義域・値域を求めよ。

解答・解説

$(f\circ g)(x)=\sqrt{1/(x-1)}$ 。 $x\ne1$ に加え $1/(x-1)\ge0$ が必要なので定義域は $x>1$ 。出力は正で、任意の $y>0$ は $x=1+1/y^2$ で得られるため値域は $y>0$ 。一方 $(g\circ f)(x)=1/(\sqrt{x}-1)$ は $x\ge0$ かつ $x\ne1$ 。 $t=\sqrt{x}\ge0$ とおくと、 $0\le t<1$ では $y\le-1$ 、 $t>1$ では $y>0$ なので、値域は $(-\infty,-1]\cup(0,\infty)$ です。

よくある誤解：

f^{-1}(x)

は逆関数であり

1/f(x)

ではありません。また

\sqrt{x^2}=|x|

であって常に

x

ではありません。逆関数の式に「

\pm

」を付けたままでは入力一つに出力が二つとなり、関数になりません。元の定義域に合わせて枝を選びます。

練習：必ず範囲も書こう

$f(x)=(x-1)^2$ を $x\le1$ で定義する。逆関数とその定義域・値域を求めよ。
ヒント
$x-1\le0$ なので、平方根を取るとき負の枝を選びます。
解答・解説
$y\ge0$ 、 $x-1=-\sqrt{y}$ より $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x}$ 。定義域は $x\ge0$ 、値域は $y\le1$ 。 $f^{-1}(f(x))=1-|x-1|=x$ は元の範囲 $x\le1$ で成立します。
$h(x)=\sqrt{3-x}+1$ の定義域と値域を求めよ。
ヒント
根号の中を0以上にし、平方根自体がどんな値を取るか考えます。
解答・解説
$3-x\ge0$ より定義域は $x\le3$ 。平方根は0以上のすべての値を取るので値域は $y\ge1$ 。実際、任意の $y\ge1$ に対して $x=3-(y-1)^2\le3$ とすれば $h(x)=y$ です。
$f(x)=\sqrt{x-2}$ 、 $g(x)=x^2$ のとき、 $f\circ g$ と $g\circ f$ の式と定義域を求めよ。
ヒント
最初の合成では $x^2\ge2$ 、次の合成では内側の平方根の条件を使います。
解答・解説
$(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-2}$ 、定義域は $x\le-\sqrt{2}$ または $x\ge\sqrt{2}$ 。 $(g\circ f)(x)=(\sqrt{x-2})^2=x-2$ 、定義域は $x\ge2$ 。後者を整理した式だけ見て全実数に広げてはいけません。

確認クイズ

問1. $f(x)=x^2$ （ $x\le0$ ）の逆関数はどれか。

問2. $f(x)=1/x$ 、 $g(x)=x-2$ のとき、 $(f\circ g)(x)$ とその定義域はどれか。

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