第二次導関数と曲線の形・最大最小

増減・凹凸・変曲点・漸近線・接線を結びつけ、定義域と境界まで含めてグラフを調べる。

この単元の目標

第二次導関数の符号から凹凸を判定し、変曲点の条件を説明できる。
極限から漸近線を求め、接線や増減と組み合わせてグラフを描ける。
定義域の端点や極限を確認し、極値と最大値・最小値を区別できる。

一次の微分は増減、二次の微分は傾きの変化

導関数 $f'$ をさらに微分した $f''$ を第二次導関数といいます。 $f'>0$ なら関数値が増加し、 $f''>0$ なら接線の傾きが増加します。この二つは別の情報です。例えば $e^{-x}$ は減少しますが、傾きは負の大きな値から 0 に近づくので下に凸です。ここでも自然対数は $\ln x=\log_e x$ と書きます。

区間での符号	傾きの動き	曲線の形
$f''>0$	$f'$ が増加する	下に凸（おわん型、接線より上側）
$f''<0$	$f'$ が減少する	上に凸（山型、接線より下側）

変曲点は、グラフ上で凹凸が切り替わる点です。二階微分可能な滑らかな曲線なら $f''=0$ の点が候補になりますが、その左右の符号まで調べます。 $f(x)=x^4$ は $f''(0)=0$ でも左右とも下に凸なので変曲点ではありません。第二次導関数が存在しない点も候補になり得るため、0 になる点だけを機械的に探す方法には限界があります。

🔍 第二次導関数の符号から極小を判断する理由

停留点の近くで傾きが増加する
$f'(a)=0,\quad f''(x)>0\ (a-\delta<x<a+\delta)$
a が定義域の内点で、その近くで二階微分可能とします。
傾きの符号が負から正へ変わる
$x<a\Rightarrow f'(x)<0,\qquad x>a\Rightarrow f'(x)>0$
f' が増加し、a で 0 になることから従います。
減少から増加へ転じる
$f(x)>f(a)\quad(0<|x-a|<\delta)$
したがって a で極小です。f'' が連続なら f''(a)>0 から近傍の正値性が従います。負の場合は極大、0 の場合はこの判定だけでは決まりません。

接線と漸近線は、別の種類の直線

y=f(a)+f'(a)(x-a)

接線は点 $(a,f(a))$ 付近でグラフを一次式で近似する直線です。一方、漸近線は端や無限遠での極限から決めます。 $x\to a$ の少なくとも片側で $f(x)\to\pm\infty$ なら $x=a$ が垂直漸近線です。分母が 0 でも、約分できる穴だけなら垂直漸近線とは限りません。

\lim_{x\to+\infty}\{f(x)-(mx+b)\}=0\quad\Longrightarrow\quad y=mx+b\ \text{は漸近線}

$m=0$ なら水平漸近線です。負の無限遠についても別に調べ、左右で異なる漸近線をもつこともあります。「近づく」とは差が 0 に近づくことであり、漸近線とグラフが途中で交わることは禁止されていません。

定義域と対称性を確認し、除外点・端点・無限遠での極限を調べる。
f' の符号で増減と極値を、f'' の符号で凹凸と変曲点を調べる。
軸との交点、接線、漸近線を記入し、各情報が矛盾しないように曲線を結ぶ。
最大最小では、内部の候補だけでなく含まれる端点の値も比較する。開いた端の極限値は、実際に達成されなければ最大値・最小値ではない。

例題1：対数関数の増減・凹凸・漸近線

$f(x)=\ln x/x$ （ $x>0$ ）の極値、変曲点、漸近線、 $x=1$ での接線を求めよう。

解答・解説

$f'=(1-\ln x)/x^2$ より $(0,e)$ で増加、 $(e,\infty)$ で減少し、最大値は $f(e)=1/e$ 。 $f''=(2\ln x-3)/x^3$ は $x=e^{3/2}$ の左で負、右で正なので、変曲点は $(e^{3/2},3/(2e^{3/2}))$ 。 $x\to0+$ で $f\to-\infty$ 、 $x\to\infty$ で $f\to0$ より漸近線は $x=0,y=0$ 。最小値はありません。 $f(1)=0,f'(1)=1$ から接線は $y=x-1$ です。

例題1の無限遠では

\ln x

も増えますが、

x

より遅いので

\ln x/x\to0

です。数値の目安は最大点が

(2.718,0.368)

、変曲点が約

(4.482,0.335)

。最大点と変曲点は一致せず、減少しながら凹凸が変わっています。

例題2：閉区間では端点を必ず比較する

$f(x)=x^3-3x$ を $-2\le x\le3$ で考える。最大値・最小値、変曲点、 $x=0$ での接線を求めよう。

解答・解説

$f'=3(x-1)(x+1)$ より内部の候補は $x=-1,1$ 。端点も含めると $f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(3)=18$ 。最大値は $18$ （ $x=3$ ）、最小値は $-2$ （ $x=-2,1$ ）です。 $f''=6x$ は 0 の左で負、右で正なので変曲点は $(0,0)$ 。 $f'(0)=-3$ より接線は $y=-3x$ 。差 $f(x)-(-3x)=x^3$ の符号が変わるので、ここではグラフが接線を横切ります。

誤解に注意： 極大値が全体の最大値とは限りません。また

f''=0

は変曲点の十分条件ではなく、凹凸の切り替わりとグラフ上の点であることが必要です。

1/x

は 0 の両側で凹凸が異なりますが、0 で関数が定義されないため、そこに変曲点はありません。閉区間で連続なら最大最小は存在しますが、開区間や無限区間では存在を別に確認します。

練習：境界と符号を確認する

$f(x)=x^4$ の原点は変曲点か。また $[-1,2]$ での最大値・最小値を求めよ。
ヒント
f''=12x² の左右の符号を調べ、端点と x=0 の値を比較する。
解答・解説
原点の左右で $f''>0$ なので原点は変曲点ではありません。 $f(-1)=1,f(0)=0,f(2)=16$ より、最大値 16（ $x=2$ ）、最小値 0（ $x=0$ ）です。
$f(x)=x+1/x$ （ $x\ne0$ ）の漸近線を求め、変曲点があるか調べよ。
ヒント
斜めの直線 y=x との差、および f''=2/x³ を見る。
解答・解説
$f(x)-x=1/x\to0$ （ $x\to\pm\infty$ ）より $y=x$ が漸近線。 $x\to0\pm$ で発散するので $x=0$ も漸近線です。 $x<0$ で上に凸、 $x>0$ で下に凸ですが、0 は定義域外なので変曲点はありません。
$f(x)=xe^{-x}$ の $[0,2]$ における最大値と最小値を求めよ。
ヒント
f'=e⁻ˣ(1−x)。内部の x=1 と両端点を比較する。
解答・解説
$f(0)=0,f(1)=1/e,f(2)=2/e^2$ 。増加から減少へ移る $x=1$ で最大値 $1/e$ 、 $x=0$ で最小値 0。参考に $f''=e^{-x}(x-2)$ なので、全実数上なら x=2 は変曲点ですが、区間 [0,2] 内にはその両側がなく、内部の変曲点はありません。

確認クイズ

問1. 滑らかな曲線の変曲点を判定するとき、適切なのはどれ？

問2. $f(x)=x$ を $0<x<1$ で考えるとき、最大値・最小値は？

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