基本積分と置換積分――合成関数の微分を逆にたどる

原始関数の定義から基本公式を整理し、置換に伴う微分と端点の変更、対数の絶対値を確実に扱う。

この単元の目標

基本的な関数の不定積分を、定義域と積分定数を明記して求められる
合成関数の微分を逆に使い、置換積分で変数・微分・端点をそろえられる
対数の絶対値の必要性を説明し、原始関数を微分して検算できる

📑 目次

積分は「微分すると何になるか」から考える
なぜ log の中に絶対値が付くのか
置換積分は連鎖律の逆向き

積分は「微分すると何になるか」から考える

ある区間で $F'(x)=f(x)$ が成り立つとき、 $F$ を $f$ の原始関数といいます。不定積分は原始関数の集まりで、 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ と書きます。定数の微分は 0 なので $C$ は微分からは決まりません。定積分は、連続な被積分関数について原始関数の差 $F(b)-F(a)$ で求める数であり、最後に $+C$ は付けません。

被積分関数	原始関数の一つ	条件・確認点
$x^r$	$x^{r+1}/(r+1)$	$r\ne-1$ 。実数の指数を一律に扱うなら $x>0$ とする
$1/x$	$\log\|x\|$	$x\ne0$ 。0 をまたがない区間で使う
$e^x$	$e^x$	すべての実数で微分して同じ関数になる
$a^x$	$a^x/\log a$	$a>0,\ a\ne1$
$\cos x$	$\sin x$	角度はラジアン
$\sin x$	$-\cos x$	マイナスの符号を微分で確認する

この教材の $\log$ は自然対数です。表には原始関数を一つだけ載せています。不定積分の答えには $+C$ を補います。また、和や定数倍は項ごとに積分できますが、積を「積分したものどうしの積」にする公式はありません。まず展開・約分・置換などで基本公式が使える形を探します。

なぜ log の中に絶対値が付くのか

$x>0$ では $(\log x)'=1/x$ です。一方 $x<0$ では $-x>0$ なので、 $(\log(-x))'=(-1)/(-x)=1/x$ 。二つをまとめた表記が $\log|x|$ です。 $1/x$ の定義域は 0 で分かれるため、負の区間と正の区間では積分定数を独立に選べます。絶対値を付けても $x=0$ で定義されるわけではありません。

置換積分は連鎖律の逆向き

🔍 内側の微分がそろえば、一つの変数にまとめられる

外側の原始関数を用意する
$F\prime(u)=f(u),\qquad \frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g\prime(x)$
$f$ は連続、 $g$ は連続な導関数をもち、合成が定義される区間で考えます。連鎖律により内側の微分が掛かります。
微分の等式を積分として読む
$\int f(g(x))g\prime(x)\,dx=F(g(x))+C$
$u=g(x)$ 、 $du=g\prime(x)\,dx$ と書けば、左辺は $\int f(u)\,du$ 。記号の置き換えは連鎖律に裏付けられています。
定積分では端点も合成関数に通す
$\int_a^b f(g(x))g\prime(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du$
両辺はともに $F(g(b))-F(g(a))$ 。新しい上端が下端より小さくなる場合も、向きをそのまま残せば成立します。

括弧・根号・指数・分母の「内側」を $u$ と置き、その導関数を計算する。
$dx$ も含めて変換し、足りない定数倍を調整する。積分記号内に $x$ と $u$ を混在させない。
不定積分なら最後に $x$ に戻して $+C$ 。定積分なら新しい端点で計算するか、 $x$ に戻して元の端点を使う。
得た原始関数を微分する。係数・符号・定義域が元の関数と一致するか確認する。

例題1：分母の微分が分子にある形

$\displaystyle\int\frac{2x}{x^2-1}\,dx$ を求め、微分で検算せよ。

解答・解説

$u=x^2-1$ と置くと $du=2x\,dx$ なので、 $\int du/u=\log|u|+C=\log|x^2-1|+C$ 。検算は $\{\log|x^2-1|\}'=2x/(x^2-1)$ です。 $x=\pm1$ は除外し、 $(-\infty,-1),(-1,1),(1,\infty)$ の各区間で公式を使います。各区間の $C$ は別々に選べます。

例題2：減少する置換と定積分の端点

$\displaystyle\int_0^1\sqrt{2-x}\,dx$ を置換積分で求めよ。

解答・解説

$u=2-x$ とすると $du=-dx$ 。 $x=0,1$ に対応する端点は $u=2,1$ です。したがって $-\int_2^1u^{1/2}\,du=\int_1^2u^{1/2}\,du=[\frac23u^{3/2}]_1^2=\frac23(2\sqrt2-1)$ 。元の変数での原始関数 $-\frac23(2-x)^{3/2}$ を微分すると $\sqrt{2-x}$ に戻ります。区間内では根号の中は正です。

端点は変数の値です。

u

に直した積分に

x

の端点を流用しないでください。また、

\int_{-1}^{1}(1/x)\,dx

を

\log|1|-\log|-1|=0

としてはいけません。途中の 0 で関数が定義されず、ここまでの定積分の公式は適用できません。左右を別々の極限で定義する広義積分も収束しません。

練習：置換・端点・定義域を一組で確認

$\displaystyle\int e^{3x-2}\,dx$ を求め、検算せよ。
ヒント
$u=3x-2$ と置くと $du=3dx$ 。あるいは $e^{3x-2}$ を微分したときの係数を考えます。
解答・解説
$\frac13e^{3x-2}+C$ 。微分は $\frac13\cdot3e^{3x-2}=e^{3x-2}$ 。すべての実数で有効です。
$\displaystyle\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx$ を求めよ。
ヒント
$u=1+x^2$ とし、下端と上端をそれぞれ計算します。
解答・解説
$du=2x\,dx$ 、端点は 1 と 2。 $\int_1^2du/u=[\log u]_1^2=\log2$ 。 $1+x^2>0$ なので、原始関数は $\log(1+x^2)$ と絶対値なしで書けます。その微分も元の被積分関数に一致します。
$\displaystyle\int\frac{1}{2x-3}\,dx$ を求め、使える区間を述べよ。
ヒント
$u=2x-3$ と置きます。 $u$ は負になることもあります。
解答・解説
$\frac12\log|2x-3|+C$ 。 $x<3/2$ または $x>3/2$ の区間で有効で、定数は区間ごとに独立です。微分すると $\frac12\cdot\frac{2}{2x-3}=1/(2x-3)$ 。 $\log(2x-3)$ だけでは負側の区間を表せません。

確認クイズ

問1. $\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$ で $u=x^2$ と置いたとき、正しい変形は？

問2. $x<0$ の区間で $1/x$ の原始関数になるものは？

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