いろいろな関数の微分と対数微分法

積・商・合成関数の構造を見抜き、三角・指数・対数関数を定義域に注意して微分する。

この単元の目標

積・商・合成関数の微分法を、関数の構造に応じて組み合わせられる。
三角・指数・対数関数の導関数を、定義域とともに説明できる。
対数微分法を用いて、底と指数の両方に変数を含む関数を微分できる。

📑 目次

計算前に「外側の構造」と定義域を見る
積・商・合成の三つのルール
三角・指数・対数関数の基本公式
対数微分法：積と累乗を和と積に変える

計算前に「外側の構造」と定義域を見る

微分は記号を機械的に置き換える作業ではありません。まず関数が積・商・合成のどれで組み立てられているかを調べ、使う公式を選びます。例えば $e^{x^2}$ は指数関数と二次関数の合成、 $x^2e^x$ は積です。分母が 0 になる点、対数の真数が正でない点などは、計算を始める前に除きます。

この記事では $\ln x=\log_e x$ を自然対数 とします。

e

は自然対数の底です。三角関数の角はすべてラジアン（弧度法）で測ります。度数法のままでは、以下の微分公式はそのまま使えません。

積・商・合成の三つのルール

(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0)

\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)

積では「片方だけを微分した項」を二つ足します。商では分子の順序が重要です。合成では外側を微分した後、内側の微分を掛けます。これらは $u,v,g$ と外側の $F$ が必要な点で微分可能であることを前提にしています。

🔍 差の分解から積の微分法を導く

積の差に同じ項を加減する
$u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)=[u(x+h)-u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)-v(x)]$
両方の関数が同時に変わる差を、一つずつの変化に分けます。
h で割って極限をとる
$\lim_{h\to0}\frac{\Delta(uv)}{h}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
微分可能なら連続なので、v(x+h) は v(x) に近づきます。積の微分が導関数どうしの積にならない理由です。
商は逆数との積とみなす
$(uv^{-1})'=u'v^{-1}-uv^{-2}v'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
逆数の合成関数の微分を使えば商の公式も得られます。ただし v は 0 でないことが必要です。

三角・指数・対数関数の基本公式

関数	導関数	条件
$\sin x$	$\cos x$	実数全体
$\cos x$	$-\sin x$	実数全体
$\tan x$	$1/\cos^2 x$	$\cos x\ne0$
$e^x$	$e^x$	実数全体
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$ （ $a=1$ なら導関数は 0）
$\ln x$	$1/x$	$x>0$
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$x>0,\ a>0,\ a\ne1$

内側が $u(x)$ なら各公式に $u'(x)$ を掛けます。例えば $(\sin 3x)'=3\cos 3x$ 、 $(e^{x^2})'=2xe^{x^2}$ 、 $(\ln u)'=u'/u$ （ $u>0$ ）です。 $\ln|u|$ は $u\ne0$ の各区間で定義され、同じ導関数 $u'/u$ をもちます。

例題1：積の中に合成関数がある場合

$f(x)=e^x\sin 2x$ を微分し、 $x=0$ での接線の傾きを求めよう。

解答・解説

積の微分で $f'(x)=e^x\sin 2x+e^x\cdot2\cos 2x=e^x(\sin 2x+2\cos 2x)$ 。内側の $2x$ の微分を忘れないことが要点です。 $f'(0)=1(0+2)=2$ なので傾きは 2。定義域は実数全体で、 $f(0)=0$ より接線は $y=2x$ です。

対数微分法：積と累乗を和と積に変える

$y>0$ の式では両辺の自然対数をとり、 $\ln y$ を微分すると $y'/y$ になります。求めた後に元の $y$ を掛ければ導関数です。特に $y=u(x)^{v(x)}$ （ $u>0$ ）なら $\ln y=v\ln u$ とでき、指数にも変数がある場合を扱えます。符号が一定で 0 でない関数なら $\ln|y|$ を使う方法もあります。

y=u^v\ (u>0)\quad\Longrightarrow\quad y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right)

例題2：底と指数の両方が変化する

$y=x^x$ （ $x>0$ ）を微分し、 $x=1$ での微分係数を求めよう。

解答・解説

$\ln y=x\ln x$ 。両辺を微分すると $y'/y=\ln x+1$ なので $y'=x^x(\ln x+1)$ 。 $x=1$ では $y'=1$ です。 $x^x=e^{x\ln x}$ と書き直して合成関数として微分しても同じ答えになります。実数上で滑らかな関数として扱うため、ここでは定義域を $x>0$ に限っています。

誤解に注意：

(uv)'=u'v'

ではありません。また

x^x

に「指数を前に出す」公式だけを使うことはできません。その公式は指数が定数の場合です。

\ln(x^2)

の定義域は

x\ne0

で、

2\ln|x|

と書くのが正確です。式を簡単にしても、元の関数で除かれていた点を勝手に戻してはいけません。

練習：構造と定義域をセットで答える

$f(x)=\ln x/x$ を微分し、 $f'(e)$ を求めよ。
ヒント
定義域は x>0。商の分子は「分子の微分×分母 − 分子×分母の微分」。
解答・解説
$f'(x)=[(1/x)x-\ln x]/x^2=(1-\ln x)/x^2$ 。 $\ln e=1$ より $f'(e)=0$ です。
$y=\tan 3x$ の導関数と定義域を求めよ。
ヒント
内側の 3x を微分する。定義域では cos 3x が 0 になる点を除く。
解答・解説
$y'=3/\cos^2 3x$ 。定義域は $x\ne\pi/6+k\pi/3$ （ $k$ は整数）。例えば $x=0$ の傾きは 3 です。
$y=\ln|x^2-1|$ を微分し、定義域を答えよ。
ヒント
ln|u| の導関数は u'/u。ただし u=0 は除く。
解答・解説
$y'=2x/(x^2-1)$ 、定義域は $x\ne\pm1$ 。 $-1<x<1$ でも絶対値の中が 0 でなければ定義されます。例えば $x=0$ では $y=0,\ y'=0$ です。

確認クイズ

問1. $x>0$ で $y=\ln(2x)$ の導関数はどれ？

問2. $y=2^x$ の導関数はどれ？

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