関数の極限と連続：左右・有理化・はさみうち

その点の値と近づく値を区別し、極限の条件を確認しながら式変形と評価で求める。

この単元の目標

関数の極限と左右極限を区別し、両側の一致から極限の存在を判定できる。
因数分解・有理化・はさみうちと弧度法の三角関数の基本極限を使える。
関数の連続性を、関数値と極限値の一致という条件で判断できる。

📑 目次

極限は「その点以外で近づいた先」
計算の順序：代入して形を見てから変形する
はさみうちと三角関数の基本極限
連続とは極限と関数値が一致すること

極限は「その点以外で近づいた先」

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ とは、 $x$ を $a$ そのものとは異なる値のまま十分近づけると、 $f(x)$ を $L$ にいくらでも近づけられることです。 $f(a)$ が未定義でも、別の値でも極限は考えられます。数値表やグラフは予想には役立ちますが、非常に近くでの挙動を保証するには式変形や不等式を使います。

\lim_{x\to a}f(x)=L\quad\Longleftrightarrow\quad\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=L

ここでは $a$ の左右で関数が定義されている場合を考えます。 $x\to a-$ は小さい側から、 $x\to a+$ は大きい側から近づく意味です。左右の有限極限が一致すれば両側の有限極限が存在します。例えば $|x|/x$ は左側で $-1$ 、右側で $1$ なので、 $x\to0$ の極限は存在しません。定義域の端点では、定義されている側からの極限を使います。

1/x

は

x\to0+

で

+\infty

、

x\to0-

で

-\infty

に発散します。無限大は実数としての値ではなく、際限なく増大する挙動の記号です。

1/x^2

は左右とも

+\infty

ですが、これも有限の極限値をもつという意味ではありません。

計算の順序：代入して形を見てから変形する

$f(x)\to A$ 、 $g(x)\to B$ が有限なら、和・差・積の極限はそれぞれ $A\pm B$ 、 $AB$ です。商は $B\ne0$ のとき $A/B$ 。多項式の極限は代入で求まり、有理関数も代入後の分母が0でなければ同様です。分子・分母がともに0へ近づく「 $0/0$ 型」は答えではなく、そのままでは商の法則を使えないという合図です。

多項式の $0/0$ 型なら因数分解し、 $x\ne a$ で共通因子を約分する。
平方根の差を含むなら共役な式を掛けて有理化する。掛ける分母が0でないことも確かめる。
三角関数なら変数をそろえて基本極限へ、不規則な振動なら絶対値を上から評価する。
$x\to\infty$ の有理式なら分母の最高次数のべきで割り、 $1/x\to0$ などを使う。

例題1：有理化で消える因子を見つける

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ を求めよ。

解答・解説

実数の定義域は $x\ge-1$ かつ $x\ne0$ 。0の左右で近づけます。共役な $\sqrt{1+x}+1>0$ を掛けると、 $x\ne0$ で $(\sqrt{1+x}-1)/x=1/(\sqrt{1+x}+1)$ 。右辺の分母は2へ近づくので極限は $1/2$ です。検算として、 $x=-0.01$ では約0.5013、 $x=0.01$ では約0.4988となり、両側から同じ値へ近づく予想と整合します。

はさみうちと三角関数の基本極限

$a$ の十分近く（ $x=a$ は除いてよい）で $g(x)\le f(x)\le h(x)$ が成り立ち、 $g(x)$ と $h(x)$ がともに同じ有限値 $L$ へ近づくなら、 $f(x)$ も $L$ へ近づきます。これがはさみうちの原理です。特に $|f(x)|\le r(x)$ 、 $r(x)\to0$ なら $f(x)\to0$ と判断できます。

🔍 弧度法で sin x / x の極限を導く

単位円の面積を比較
$\frac12\sin x\le\frac12x\le\frac12\tan x\quad\left(0<x<\frac\pi2\right)$
内側の三角形、扇形、接線でできる外側の三角形の順です。扇形の面積が x/2 になるのは x がラジアンのときです。
正の量で割ってはさむ
$\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1$
sin x≤x と x≤sin x/cos x をそれぞれ整理します。この範囲では x と cos x は正です。
右からの極限
$\cos x\to1\quad\Longrightarrow\quad\lim_{x\to0+}\frac{\sin x}{x}=1$
cos x→1 は単位円上で角を0へ縮めたときの座標からわかります。
左側も確認
$\frac{\sin(-t)}{-t}=\frac{\sin t}{t}\quad(t>0)\quad\Longrightarrow\quad\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$
比は偶関数なので左右の極限が一致します。微分の公式は使っていません。

\lim_{x\to0}\frac{\sin(kx)}{x}=k\quad(k\in\mathbb R,\ \text{角は弧度法})

$k\ne0$ なら $t=kx$ とおき、 $\sin(kx)/x=k(\sin t/t)$ とします。 $k=0$ なら $x\ne0$ で式は常に0です。一方、度数法で $\sin(x^\circ)/x$ を考えると $\sin(\pi x/180)/x$ なので極限は $\pi/180$ 。角の単位は定数倍の違いを生みます。

連続とは極限と関数値が一致すること

f\text{ が }a\text{ で連続}\quad\Longleftrightarrow\quad\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

内点での連続性には、① $f(a)$ が定義されている、②両側の有限極限が存在する、③その極限が $f(a)$ と等しい、の三条件が必要です。閉区間の左端では右極限、右端では左極限を使います。多項式と $\sin x$ 、 $\cos x$ は実数全体で連続です。正接関数は $\cos x\ne0$ の範囲で、有理関数は分母が 0 でない範囲で、 $\sqrt{x}$ はその定義域 $x\ge0$ で連続です。

例題2：つなぎ目で連続にする

$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ （ $x<1$ ）、 $f(1)=b$ 、 $f(x)=ax+1$ （ $x>1$ ）とする。 $x=1$ で連続となる $a,b$ を求めよ。

解答・解説

左側では $x\ne1$ なので $(x^2-1)/(x-1)=x+1$ 、左極限は2。右極限は $a+1$ です。まず両側の一致から $a+1=2$ 、つまり $a=1$ 。さらにその極限と関数値が等しい必要があるので $b=2$ 。検算すると、左右とも式は $x+1$ になり、つなぎ目の値も2で一致します。

誤解に注意：

0/0

は0でも1でもありません。「

x=0

を代入できない」と「

x\to0

の極限がない」は別です。また

\sin(1/x)

が有界でも極限をもつとは限りません。はさみうちでは、上下の評価が同じ値へ近づく必要があります。

練習：使った条件も説明しよう

$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ を求め、この式の $x=2$ での値を補って連続にせよ。
ヒント
分子を因数分解します。極限計算では $x\ne2$ です。
解答・解説
$x\ne2$ で $(x^2-4)/(x-2)=x+2$ なので極限は4。元の式は2で未定義ですが、新しく関数値を $f(2)=4$ と定めれば極限と一致し連続になります。
$\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin(1/x)$ を求めよ。
ヒント
$|\sin u|\le1$ を用いて式全体の絶対値を評価します。
解答・解説
$x\ne0$ で $|x\sin(1/x)|\le|x|$ 。よって $-|x|\le x\sin(1/x)\le|x|$ で、上下とも0へ近づくため極限は0。振動する部分だけの極限を求める必要はありません。
角を弧度法として $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{2x}$ を求めよ。
ヒント
分母を $3x$ にそろえるための係数を外に出します。
解答・解説
$x\ne0$ で $\sin(3x)/(2x)=(3/2)\{\sin(3x)/(3x)\}$ 。 $t=3x\to0$ より基本極限から答えは $3/2$ です。

確認クイズ

問1. $f(x)=|x|/x$ （ $x\ne0$ ）について正しいものはどれか。

問2. $\displaystyle\lim_{x\to0}\sin(x^\circ)/x$ の値はどれか（角は度数法）。

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