区分求積法・和の極限と積分による評価

小区間の幅を読み取って和を定積分へ変換し、不等式とはさみうちで値や誤差を評価する。

この単元の目標

区分求積法の幅・代表点・積分範囲を説明し、和の極限を定積分に直せる
式を n の適切なべきで割って、和に隠れた関数と小区間の幅を見つけられる
関数の大小関係や単調性を積分不等式に移し、極限や誤差を評価できる

📑 目次

定積分を「細長い長方形の和」と見る
和を積分に直すための3点セット
原始関数がわからなくても評価できる

定積分を「細長い長方形の和」と見る

定積分は原始関数の差として計算できますが、その背景には幅を限りなく小さくした和があります。連続関数 $f$ を区間 $[a,b]$ （ $a<b$ ）で考え、区間を n 等分します。右端を代表点に選んでも左端を選んでも、細分化した極限は同じです。関数が負の部分は符号付きの面積として加えます。

\Delta x=\frac{b-a}{n},\quad x_k=a+\frac{(b-a)k}{n},\quad \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)\,dx

長方形の「高さ×幅」の和を、幅を0へ近づけて定積分にする。

🔍 単調増加関数では上下の長方形ではさめる

1：各小区間で高さを比べる
$f(x_{k-1})\le f(x)\le f(x_k)\qquad(x_{k-1}\le x\le x_k)$
ここでは f が連続かつ単調増加とします。各区間の左端が最小、右端が最大です。
2：幅を掛けて全区間を足す
$L_n=\Delta x\sum_{k=1}^n f(x_{k-1})\le\int_a^b f(x)\,dx\le\Delta x\sum_{k=1}^n f(x_k)=R_n$
長方形の面積の和が定積分の下側・上側の評価になります。
3：上下の差を計算する
$R_n-L_n=\Delta x\{f(b)-f(a)\}=\frac{b-a}{n}\{f(b)-f(a)\}\longrightarrow0$
和の途中の項が打ち消し合います。定積分との差もこの幅以下なので、左右いずれの和も定積分に近づきます。

和を積分に直すための3点セット

まず $1/n$ や $(b-a)/n$ をくくり出し、長方形の幅を見つける。
残りを $f(k/n)$ や $f(a+(b-a)k/n)$ と見て、関数と代表点を決める。
代表点が走る区間と連続性を確認し、その区間の定積分を計算する。

$\frac1n\sum_{k=1}^n f(k/n)$ なら積分範囲は $[0,1]$ 。一方、 $\frac2n\sum_{k=1}^n f(1+2k/n)$ なら幅は $2/n$ 、範囲は $[1,3]$ です。最初の代表点が $a+\Delta x$ でも、最初の長方形自体は $a$ から始まるため、積分の下端は $a$ になります。

例題1：分母に n と k が混ざる和

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}$ を求めよ。

解答・解説

$\frac1{n+k}=\frac1n\frac1{1+k/n}$ と変形します。幅は $1/n$ 、関数は $f(x)=1/(1+x)$ 、範囲は $[0,1]$ 。この区間で連続なので、極限は $\int_0^1\frac1{1+x}\,dx=[\log(1+x)]_0^1=\log2$ 。自然対数で約 $0.6931$ 。同じ和は $[1,2]$ 上の $1/x$ の右端和とも解釈できます。

原始関数がわからなくても評価できる

連続関数 $f,g$ について、区間全体で $f(x)\le g(x)$ なら、その差 $g-f$ は非負なので定積分でも大小関係が保たれます。ただし積分の向きは $a<b$ とします。定数で上下からはさむだけでも、値があり得る範囲を確定できます。

f(x)\le g(x)\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx,\qquad m\le f(x)\le M\ \Rightarrow\ m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a)

例題2：積分不等式で評価して極限を求める

$n$ を正の整数とし、 $I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx$ とする。 $I_n$ を上下から評価し、 $\lim_{n\to\infty}I_n$ を求めよ。

解答・解説

$0\le x\le1$ で $1\le1+x\le2$ だから $\frac12\le\frac1{1+x}\le1$ 。非負の $x^n$ を掛けると $\frac{x^n}{2}\le\frac{x^n}{1+x}\le x^n$ 。積分して $\frac1{2(n+1)}\le I_n\le\frac1{n+1}$ 。両端が0に近づくので、はさみうちにより極限は0です。たとえば $n=1$ では $I_1=1-\log2\approx0.3069$ で、 $1/4\le I_1\le1/2$ を満たします。

単調性は近似誤差も教えてくれます。例題1の $f(x)=1/(1+x)$ は減少関数なので、右端和 $S_n$ は積分より小さく、左端和との差は $(f(0)-f(1))/n=1/(2n)$ 。したがって $0\le\log2-S_n\le1/(2n)$ です。極限値だけでなく「どれくらい近いか」も積分によって保証できます。

「各項が0へ近づくから和も0」は誤りです。項数も増えており、例題1の極限は

\log2

でした。また、区分求積に必要な幅

1/n

を落とさないこと。連続性を確認せず、端で発散する

1/x

などを

[0,1]

の通常の定積分として扱うこともできません。不等式に負の数を掛けると向きが逆転します。

練習：幅・関数・範囲と評価

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$ を求めよ。
ヒント
幅は $1/n$ 、 $f(x)=\sqrt{x}$ 、範囲は $[0,1]$ 。端点でも連続です。
解答・解説
$\int_0^1\sqrt{x}\,dx=[\frac23x^{3/2}]_0^1=\frac23$ 。増加関数の右端和なので有限の n では $2/3$ 以上であり、そこから極限に近づきます。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac2n\sum_{k=1}^n\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2$ を求めよ。
ヒント
幅は $2/n$ 、代表点は $1+2k/n$ 。積分範囲は $[0,1]$ ではありません。
解答・解説
$[1,3]$ 上の $f(x)=x^2$ の右端和なので $\int_1^3x^2\,dx=[x^3/3]_1^3=26/3$ 。別法では $2\int_0^1(1+2t)^2\,dt$ と書いても同じ値になります。
$J=\int_0^1 e^{x^2}\,dx$ に対して $1\le J\le e-1$ を示せ。
ヒント
$0\le x\le1$ で $0\le x^2\le x$ 。指数関数は増加関数です。
解答・解説
$1\le e^{x^2}\le e^x$ を $0$ から $1$ まで積分すると $1\le J\le[e^x]_0^1=e-1$ 。数値では $J\approx1.4627$ 、上限は約 $1.7183$ 。原始関数を求めなくても、比較しやすい関数から値の範囲がわかります。

確認クイズ

問1. $\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ の極限を表す定積分はどれか。

問2. $[0,1]$ 上で連続な減少関数の右端和 $R_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n)$ は、定積分とどの関係にあるか。

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