部分積分と部分分数――積と分数を積分しやすくする

積の微分から部分積分を導き、役割の選択・反復・有理関数の分解を使い分ける。

この単元の目標

積の微分公式から部分積分を導き、微分する側と積分する側を選べる
部分積分を反復して多項式と指数関数などの積を積分できる
部分分数分解で有理関数を積分し、定義域・積分定数・微分による検算を確認できる

📑 目次

積分法を選ぶ目印
反復すると元の積分が現れる場合
部分分数分解：分母を分けて基本積分へ

積分法を選ぶ目印

積の形を見ても、すぐに部分積分とは限りません。 $2xe^{x^2}$ のように「内側の微分」がそろうなら置換が直接的です。一方 $xe^x$ は、 $x$ を微分すると簡単になり、 $e^x$ はすぐ積分できます。このように片方を微分し、片方を積分して、残る積分を簡単にするのが部分積分です。以下、各関数が必要な微分をもつ区間で考えます。

🔍 積の微分を移項して積分する

出発点は積の微分
$\frac{d}{dx}(uv)=u\prime v+uv\prime$
$u=u(x)$ と $v=v(x)$ がともに微分可能で、導関数が連続とします。
積分したい項を取り出す
$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$
右辺の積分を計算した最後に積分定数を一つまとめます。 $u$ が微分する側、 $v\prime$ が積分する側です。
微分形式と定積分の形
$\int u\,dv=uv-\int v\,du,\qquad\int_a^b uv\prime\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b u\prime v\,dx$
定積分では境界項 $[uv]_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$ が必須です。被積分関数が区間内で連続かも確認します。

積分したい形	微分する側 u	積分する側 dv	選ぶ理由
$xe^x$	$x$	$e^x dx$	$x$ が 1 になり残りが基本積分になる
$x^2\sin x$	$x^2$	$\sin x\,dx$	反復すると多項式の次数が下がる
$\log x$	$\log x$	$dx$	$1\cdot\log x$ と見れば導関数が $1/x$ になる

積分する側の原始関数 $v$ は一つ選べば十分で、途中の $v$ に毎回任意定数を付ける必要はありません。不定積分の最終結果に $+C$ を付けます。選択の良し悪しは「残った積分が簡単になったか」で判断し、複雑になるときは役割や方法を見直します。

例題1：部分積分を2回繰り返す

$\displaystyle\int x^2e^x\,dx$ を求め、微分して確かめよ。

解答・解説

まず $u=x^2,\ dv=e^x dx$ と置くと $x^2e^x-2\int xe^x dx$ 。残りにも $u=x,\ dv=e^x dx$ を使うと $\int xe^x dx=xe^x-e^x$ （ここでは原始関数を一つ選択）。よって答えは $e^x(x^2-2x+2)+C$ です。微分すると $e^x(x^2-2x+2)+e^x(2x-2)=x^2e^x$ 。多項式の次数が 2→1→0 と下がり、すべての実数で成立します。

反復すると元の積分が現れる場合

反復は次数を下げるためだけではありません。 $I=\int e^x\cos x\,dx$ と記号を置くと、2 回の部分積分で $I=e^x\cos x+e^x\sin x-I$ という関係を得ます（原始関数の定数差を除いた表記）。同じ積分を左辺に集め、 $I=\frac12e^x(\sin x+\cos x)+C$ 。実際に微分すると正弦の項が消え、 $e^x\cos x$ に戻ります。「元に戻った」ことを失敗と考えず、方程式として解くのが要点です。

部分分数分解：分母を分けて基本積分へ

部分分数分解は部分積分とは別の方法で、有理関数を積分しやすい分数の和に直す代数操作です。まず分母を因数分解します。分子の次数が分母以上なら先に割り算を行います。異なる一次因子なら各因子を分母とする分数を置き、通分して分子の係数を比較します。分解後も、元の分母が 0 になる点を定義域から除外します。

\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}\right)\quad(a\ne b)

重複する因子 $(x-a)^2$ がある場合は $A/(x-a)+B/(x-a)^2$ のように各次数を用意します。一次因子の逆数は対数に、その二乗以上の逆数はべきの積分になります。「有理関数を積分すると必ず対数だけになる」わけではありません。

例題2：通分で係数を決め、対数を積分する

$\displaystyle\int\frac{1}{x^2-1}\,dx$ を求めよ。

解答・解説

$1/\{(x-1)(x+1)\}=A/(x-1)+B/(x+1)$ と置きます。通分すると $1=A(x+1)+B(x-1)$ 。 $A+B=0,\ A-B=1$ より $A=1/2,\ B=-1/2$ 。したがって $\frac12\log|x-1|-\frac12\log|x+1|+C$ 。微分は $\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}=1/(x^2-1)$ 。 $x=\pm1$ をまたがない各区間で有効で、積分定数は区間ごとに独立です。

部分積分の右辺は引き算です。

uv

だけで終えたり、残りの積分の符号を落としたりしないようにします。また

\int fg\,dx

は一般に

(\int f\,dx)(\int g\,dx)

ではありません。部分分数分解では積分する前に通分して元の分数に戻るか確認し、積分後は微分で二重に検算しましょう。

練習：方法の選択から検算まで

$x>0$ で $\displaystyle\int\log x\,dx$ を求めよ。
ヒント
$\log x\cdot1$ と見て $u=\log x,\ dv=dx$ と置きます。
解答・解説
$x\log x-\int x\cdot(1/x)\,dx=x\log x-x+C$ 。微分は $\log x+1-1=\log x$ 。元の関数 $\log x$ の定義域は $x>0$ であり、計算の途中で勝手に負の領域へ広げません。
$\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx$ を求めよ。
ヒント
$u=x,\ dv=\sin x\,dx$ 。 $v=-\cos x$ の符号と境界項に注意します。
解答・解説
$[-x\cos x]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+[\sin x]_0^\pi=\pi$ 。原始関数 $-x\cos x+\sin x$ の微分は $x\sin x$ 。区間内で被積分関数は連続で、定積分の結果には $+C$ を付けません。
$\displaystyle\int\frac{2x+3}{x(x+1)}\,dx$ を求めよ。
ヒント
$A/x+B/(x+1)$ と置き、 $2x+3=A(x+1)+Bx$ の係数を比較します。
解答・解説
$A=3,\ B=-1$ より $3\log|x|-\log|x+1|+C$ 。微分は $3/x-1/(x+1)=(2x+3)/\{x(x+1)\}$ 。 $x=-1,0$ は除外し、これらで区切られる三つの区間それぞれで積分定数を選べます。

確認クイズ

問1. $\int x\cos x\,dx$ を簡単にする部分積分の選択は？

問2. $1/\{x(x+2)\}$ の正しい部分分数分解は？

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