複素数平面と極形式

複素数を平面の点・ベクトルとして読み、積・商が「絶対値の積・商」と「偏角の和・差」になることを極形式で確認する。

この単元の目標

複素数を複素数平面上の点・ベクトルとして表し、絶対値と偏角を求めることができる
極形式で複素数を表し、積・商・べき乗を図形的に説明できる
ド・モアブルの定理を使ってべき乗や n 乗根を計算できる

📑 目次

複素数を平面に置く
極形式——大きさと向きで複素数を書く
積・商は「拡大＋回転」
n 乗根——偏角を一周分そろえてから割る

複素数を平面に置く

実部を横軸（実軸）、虚部を縦軸（虚軸）にとり、複素数 $z = a + bi$ を点 $(a,b)$ に対応させる平面を複素数平面と呼びます。複素数は原点 O からその点へのベクトルとしても読めます。絶対値が「原点からの距離」に、加法が「平行四辺形則」に、掛け算が「拡大と回転」に翻訳され、計算と幾何を結びつけられます。

z = a + bi \iff \text{点 } (a,\, b), \qquad |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \; \text{（原点からの距離）}

実軸上の点は実数、虚軸上の点（原点を除く）は純虚数に対応する
共役 $\bar{z} = a - bi$ は実軸についての鏡映（点を上下に反転）
絶対値の性質 $|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$ , $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ ( $z_2 \ne 0$ ), $|\bar{z}| = |z|$
距離は差の絶対値：2点 $z_1, z_2$ の間の距離は $|z_1 - z_2|$

極形式——大きさと向きで複素数を書く

ベクトルの向きを表す角、すなわち実軸の正の向きから反時計回りに測った角を $z$ の偏角といい、記号 $\arg z$ で書きます。極形式は「距離 $r$ と角 $\theta$ 」で複素数を書く方法で、同じ複素数でも直交形式 $(a + bi)$ とはまるで違う顔を見せます。原点 $z=0$ には向きがなく偏角は定義しません。偏角は $2\pi$ の整数倍を足しても同じ向きなので、この教材では $-\pi < \theta \le \pi$ の範囲に取ります（これを偏角の主値と呼ぶ流儀もあります）。

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}, \qquad r = |z|, \quad \theta = \arg z \quad (r > 0)

🔍 加法定理から積の極形式を導く

単位円上の複素数を掛ける
$(\cos u+i\sin u)(\cos v+i\sin v)=(\cos u\cos v-\sin u\sin v)+i(\sin u\cos v+\cos u\sin v)$
$i^2=-1$ を使って実部と虚部をまとめます。
三角関数の加法定理を使う
$(\cos u+i\sin u)(\cos v+i\sin v)=\cos(u+v)+i\sin(u+v)$
角度を足す理由は三角関数の加法定理です。
長さの部分も掛ける
$z_1z_2=r_1r_2\{\cos(u+v)+i\sin(u+v)\}$
以下では $e^{i\theta}$ を $\cos\theta+i\sin\theta$ の省略表記としても使います。高校範囲の計算は三角関数の形だけで進められます。

例題1：極形式への変形

$1 + \sqrt{3}\,i$ を極形式で表せ。

解答・解説

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ 。 $\cos\theta = 1/2,\ \sin\theta = \sqrt{3}/2$ はともに正なので $\theta$ は第2象限ではなく第1象限の ** $\theta = \pi/3$ **。よって $1 + \sqrt{3}\,i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}$ 。

積・商は「拡大＋回転」

極形式にすると掛け算の意味が一目瞭然です。絶対値は掛け合わさり、偏角は足されます。つまり $z_1 z_2$ は「 $z_1$ を長さ $|z_2|$ 倍に伸ばして、 $\arg z_2$ だけ回転させたもの」。商はその逆操作（長さは割る、角度は引く）です。特に虚数単位 $i$ を掛けることは、長さを変えずに90度回転させる操作そのものです。

z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\, e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \quad (z_2 \ne 0)

たとえば $(1+i)/(1-i)$ は絶対値が $\sqrt{2}/\sqrt{2}=1$ 、偏角が $\pi/4-(-\pi/4)=\pi/2$ なので $i$ 。共役を掛けても $(1+i)^2/2=i$ と一致します。原点以外の点 $a$ を中心に角 $\phi$ 回すときは、いったん $a$ を引き、 $w-a=(\cos\phi+i\sin\phi)(z-a)$ として最後に $a$ を戻します。

例題2：べき乗の計算

$\left(\sqrt{3} + i\right)^6$ を求めよ。

解答・解説

$\sqrt{3} + i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ 。ド・モアブルより $2^6\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 64 \cdot (-1) =$ ** $-64$ **。

ド・モアブルの定理：

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

（n は整数）。正の n では積の法則を n 回繰り返し、n = 0 では両辺 1、負の n では逆数と商の法則を使えば確かめられます。べき乗・三角関数の倍角公式・n 乗根をまとめて扱える定理です。

n 乗根——偏角を一周分そろえてから割る

$n$ を正の整数、 $w=R(\cos\phi+i\sin\phi)\ne0$ とします。 $z^n=w$ では絶対値について $r^n=R$ 、偏角について $n\theta=\phi+2k\pi$ が必要です。したがって次の $n$ 個がすべての解です。 $k=n$ 以降は同じ点を繰り返すので不要です。

z_k=R^{1/n}\left(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,1,\ldots,n-1

解は半径 $R^{1/n}$ の円周上に等間隔で並び、 $n\ge3$ なら正 $n$ 角形の頂点です。 $w=0$ の場合はこの偏角の議論を使わず、解は $z=0$ だけとします。

偏角の主値を答える問題では、計算で出た角が範囲

-\pi < \theta \le \pi

を外れたら

2\pi

の倍数を加減して戻すのを忘れずに。また「偏角

\theta

と

\theta + 2\pi

は同じ複素数」なので、

n

乗根のように答えが複数個ある場面では、主値だけ書いて締めないようにしましょう。

練習問題

次の複素数を極形式で表せ。(1) $-1 + i$ 　(2) $2i$ 　(3) $-3$
ヒント
絶対値を求めてから、サインとコサインの符号で象限を確定する。
解答・解説
(1) $r = \sqrt{2}$ 、 $\cos\theta = -1/\sqrt{2},\ \sin\theta = 1/\sqrt{2}$ より $\theta = 3\pi/4$ 。 $\sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}$ 　(2) $r = 2$ 、 $\theta = \pi/2$ 。 $2e^{i\pi/2}$ 　(3) $r = 3$ 、 $\theta = \pi$ 。 $3e^{i\pi}$
$\dfrac{1 + i}{\sqrt{3} - i}$ を求めよ。
ヒント
分母の極形式は $2e^{-i\pi/6}$ 。商の法則「絶対値は割る・偏角は引く」を使う。
解答・解説
$\dfrac{\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}}{2e^{-i\pi/6}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,e^{i(\pi/4 + \pi/6)} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{12} + i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i}{4}$ 。実部・虚部ともに正で、偏角は $75°$ です。
方程式 $z^3 = 8$ を解け。
ヒント
$8 = 2^3 e^{i \cdot 0}$ と極形式で書き、偏角側は $0 + 2k\pi$ ( $k$ は整数) と用意してから $\frac{1}{3}$ 倍する。
解答・解説
$z = 2e^{2k\pi i/3}$ ( $k = 0, 1, 2$ )。すなわち ** $z = 2,\ -1 \pm \sqrt{3}\,i$ **。どれも $|z| = 2$ で、偏角は $2\pi/3$ ずつ離れた正三角形の頂点をもちます。

確認クイズ（複素数平面と極形式）

問1. 複素数 $-1 - i$ の偏角（主値 $-\pi < \theta \le \pi$ ）は？

問2. $z$ に $i$ を掛けることは、複素数平面上ではどの操作か。

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